Encuentra un espacio métrico en el que existen dos bolas abiertas $B(x,\rho_1),B(y,\rho_2)$ tal que $\rho_1>\rho_2$ y $B(x,\rho_1)\subset B(y,\rho_2)$ .

Question

Estoy leyendo un famoso libro de Kolmogorov y Fomin (4ª edición, traducido del ruso al japonés).

En este libro se encuentra el siguiente ejercicio sin solución:

Encuentra un espacio métrico en el que existen dos bolas abiertas $B(x,\rho_1),B(y,\rho_2)$ tal que $\rho_1>\rho_2$ y $B(x,\rho_1)\subset B(y,\rho_2)$ .

Mi solución está aquí:

Dejemos que $(X,\rho)$ sea un espacio métrico discreto.
Dejemos que $x,y\in X$ sean dos elementos cualesquiera.
Dejemos que $\rho_1=3$ y $\rho_2=2$ .
Entonces $B(x,\rho_1)=B(y,\rho_2)=X$ .
Así que, $B(x,\rho_1)\subset B(y,\rho_2)$ .

Creo que mi solución no es nada interesante.
¿Hay alguna solución interesante para este ejercicio? (Si no, creo que este ejercicio no es bueno).

Answer 1

Dejemos que $(X,d)$ ser la métrica de la oficina de correos en $\Bbb R^2$ con respecto al origen (para que $d(x,y)=\|x\|_2 + \|y\|_2$ , donde $\|\cdot\|_2$ es la norma euclidiana en el plano para $x\neq y$ y $d(x,x)=0$ ).

Entonces $B((0,0),1)$ contiene adecuadamente $B((\frac12,0), \frac43)$ por ejemplo.