Tengo dos subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ dado por $K$ y $F$ , $K$ es compacto y $F$ está cerrado. Estoy tratando de mostrar que $\inf\{ d(x,y) : x \in K, y \in F \}$ se consigue.
Mis ideas hasta ahora:
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Sé que una función continua en un conjunto compacto alcanza sus límites. Así que $f_y: K \to \mathbb{R}$ dado por $f_y(x) = d(x,y)$ alcanza sus límites para cada $y$ pero esto no da el resultado esperado.
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Necesito usar el hecho de que estamos trabajando en $\mathbb{R}^n$ de alguna manera, ¿tal vez utilizando la equivalencia entre compacidad y compacidad secuencial?
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El hecho $\mathbb{R}^n$ es Hausdorff, significa que $K$ también está cerrado. Así que ambos conjuntos contienen sus puntos límite.
Desgraciadamente, me cuesta reunir estas ideas, gracias por cualquier ayuda
