Encontrar todos los enteros soluciones de la ecuación

Question

Encontrar todos los enteros soluciones a $3^a+7=2\cdot5^b$.

Básicamente he probado casi todas las herramientas que conozco de NT (Zsigmondy,LTE,reduciendo a diversos módulo) pero nada funcionó.

Hasta ahora solo sé que (1,1) obras.

Answer 1

$(1,1)$ $(5,3)$ son las únicas soluciones.

Supongamos que tenemos una solución que es más grande que este. A continuación, el lado derecho es divisible por $5^4 = 625$, y así LHS también debe ser.

El orden de $3$ modulo $625$$500$, e $3^{105} + 7$ es divisible por $625$. Así que tenemos: $$a \equiv 105 \pmod{500}$$

Ahora, el orden de $3$ modulo $3001$$500$, e $\text{LHS} \equiv 3^{105} + 7 \equiv 1735 \pmod{3001}$. Así, por ejemplo una solución de existir, necesitamos:

$$2\cdot 5^b \equiv 1735 \pmod{3001}$$

Pero el orden de $5$ modulo $3001$$250$, y una exhaustiva búsqueda de la $250$ poderes de $5$ modulo $3001$ demuestra que esto no suceda.

Por lo $(1,1)$ $(5,3)$ son de hecho las únicas soluciones.