Encuentre el coeficiente de correlación entre $X_{(1)},X_{(3)}$

Question

La pregunta es la siguiente:

Dejemos que $X_{(1)},X_{(2)},X_{(3)}$ sea el orden estadístico de tres variables aleatorias independientes $X_1,X_2,X_3$ con una distribución uniforme en $[0,1]$ . Encuentre el coeficiente de correlación entre $X_{(1)},X_{(3)}$ .

Sabemos que $X_{(k)}\sim Beta(k,4-k)$ por lo que obtenemos: $$ Var\left(X_{(k)}\right)=\frac{k\cdot(4-k)}{(k+(4-k))^{2}\cdot(k+(4-k)+1)}=\frac{k(4-k)}{80}, E\left(X_{(k)}\right)=\frac{k}{(4-k)+k}=\frac{k}{3} $$ Podemos utilizar el siguiente teorema para calcular $Corr\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)$ : $$ Corr\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)=\frac{Cov\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)}{\sqrt{Var\left(X_{(1)}\right)}\sqrt{Var\left(X_{(2)}\right)}}=\frac{E\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)-E\left(X_{(1)}\right)E\left(X_{(3)}\right)}{\sqrt{Var\left(X_{(1)}\right)}\sqrt{Var\left(X_{(2)}\right)}} $$ Lo único que queda por calcular es $E\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)$ . En la solución dice que las funciones de densidad de probabilidad son:

No entiendo cómo han calculado la función de la izquierda. Me gustaría ver alguna explicación. ¿Qué teorema utilizaron?

Answer 1

La función de densidad conjunta triple para el estadísticas de pedidos es la función de denisidad de la probabilidad para arreglos de la muestras que se ajusta a esos tres valores ordenados, $x\leqslant y\leqslant z$ .

Desde estos tres muestras se distribuyen de forma idéntica e independiente, es decir

$$\begin{align}f_{\small\! X_{(1)},X_{(2)},X_{(3)}}\!(x,y,z) &={( f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(x,y,z) + f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(x,z,y)+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(y,x,z)\\+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(y,z,x)+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(z,x,y)+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(z,y,x))~\mathbf 1_{x\leqslant y\leqslant z}} \\[1ex] &= 3!\,f_{\!\small X_1}\!(x)\,f_{\!\small X_1}\!(y)\,f_{\!\small X_1}\!(z))\;\mathbf 1_{x\leqslant y\leqslant z}\\[1ex]&=3!\,\mathbf 1_{0\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 1}\end{align}$$

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El marginal para el pdf conjunto para $X_{(1)}$ y $X_{(3)}$ es sólo la integral de ésta para todos los valores medios entre el estadístico de menor y mayor orden.

$$\begin{align}f_{\small\! X_{(1)},X_{(3)}}\!(x,z) &=\int_x^z f_{\small\! X_{(1)},X_{(2)},X_{(3)}}\!(x,y,z) ~\mathrm d y \\[2ex]&= 3!~(z-x)~\mathbf 1_{0\leqslant x\leqslant z\leqslant 1}\end{align}$$

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De la misma manera: $$\begin{align}f_{\small X_{(1)}}(x)&= 3\,(1-x)^2~\mathbf 1_{0\leqslant x\leqslant 1}\\[3ex]f_{\small X_{(2)}}(y)&=3!\,y(1-y)\,\mathbf 1_{0\leqslant y\leqslant 1}\\[3ex]f_{\small X_{(3)}}(z)&= 3\,z^2\,\mathbf 1_{0\leqslant z\leqslant 1}\end{align}$$

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Eso es todo.

Answer 2

Un atajo para la respuesta es observar que $(X_{(1)}, X_{(2)} - X_{(1)}, X_{(3)} - X_{(2)}, 1 - X_{(3)}) = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ está uniformemente distribuido en el simplex, es decir, tiene un $\operatorname{Dirichlet}(1,1,1,1)$ distribución. Por lo tanto, $\text{Cov}(X_{(1)}, X_{(3)}) = -\text{Cov}(p_1, p_4)$ que utilizando las propiedades de la distribución Dirichlet es $(1 \times 1) / (4^2 * 5) = 1/80$ . También tenemos $\text{Var}(X_{(1)}) = \text{Var}(X_{(3)}) = \text{Var}(p_1) = \text{Var}(p_4) = 3/80$ por lo que la correlación es $1/3$ .