$H, K$ son subgrupos de $G$ . Si $H \cup K \leq G$ entonces $H \subseteq K$ o $K \subseteq H$ ?

Question

¿Es la afirmación verdadera o falsa?

Dejemos que $H,K$ sean subgrupos de un grupo $G$ . Si $H \cup K \leq G$ entonces $H \subseteq K$ o $K \subseteq H$ .

Necesito ayuda con esta pregunta.

Answer 1

Supongamos que ninguno es un subconjunto del otro. Entonces existe $h\in H\setminus K$ y $k\in K\setminus H$ . ¿Es el elemento $hk$ en cualquiera de los dos subgrupos?

Answer 2

Para determinar si esta afirmación es verdadera o falsa, tendríamos que encontrar un caso en el que la afirmación dada no sea verdadera. En esta afirmación implícita, como sabemos que la unión de subgrupos de G puede ser como máximo igual a G, entonces sabemos que la primera parte de esta afirmación implícita es verdadera ya que $H$ y $K$ son subgrupos de $G$ . Entonces, para la segunda parte de la afirmación implícita, si suponemos que $H$ y $K$ son subgrupos disjuntos de $G$ podemos demostrar que $H$ y $K$ no pueden ser subconjuntos entre sí, ya que no comparten ningún elemento. Por lo tanto, la segunda parte de esta afirmación sería falsa. A $T$ $->$ $F$ La afirmación es siempre falsa y, por lo tanto, eso haría que esta afirmación fuera falsa.

Algo a tener en cuenta: Si hubiéramos cambiado las cláusulas de la declaración a: Si $H \subseteq K$ o $K \subseteq H$ entonces $H \cup K \leq G$ entonces la afirmación sería vacuamente verdadera.