En cuanto a la " lo que ocurre en el supercaso "; sí, estoy de acuerdo en que, en cierto sentido, tiene que ver con las raíces simples de impar, pero creo que es más profundo que eso:
En el caso de las álgebras de Lie semisimples y complejas, toda representación reducible es completamente reducible. Sin embargo, este resultado no es cierto para las superálgebras de Lie básicas, clásicas, simples y complejas (BCSCLS para abreviar). Se podría esperar que las representaciones reducibles que no son completamente reducibles constituyan casos algo excepcionales; sin embargo, esto tampoco es cierto. Esta situación, ha llevado a distinguir las reprepesentaciones graduadas e irreducibles de las BCSCLS en dos clases: las típico y el atípico mediante la siguiente definición:
Un rep rep irreducible y graduado $V(\Lambda)$ de un BCSCLS, $L_s$ , con mayor peso $\Lambda$ se define como típico si cualquier reducible, graduado, rep de $L_s$ con mayor peso $\Lambda$ se puede escribir como una suma directa de $V(\Lambda)$ con algún otro rep de grado de $L_s$ .
Un rep irreducible y graduado que no es típico, se define como atípico .
La definición anterior implica que si $V(\Lambda)$ es una representación graduada atípica de $L_s$ con mayor peso $\Lambda$ entonces existe al menos una representación graduada y reducible de $L_s$ con mayor peso $\Lambda$ que no es completamente reducible.
V. G. Kac, ha demostrado el siguiente teorema:
Una representación irreducible y graduada de un BCSCLS, con el mayor peso $\Lambda$ es atípico si y sólo si $$ (\Lambda+\rho,\alpha)=0 $$ para alguna raíz positiva $\alpha \in \bar{\Delta}_1^{+}$ .
Para la prueba, véase:
La condición $(\Lambda+\rho,\alpha)=(\Lambda+\rho)(\alpha) \ne 0$ , $\forall\, \alpha \in \bar{\Delta}_1^{+}$ a la que te refieres, es esencialmente la "traducción" de la descripción verbal de la tipicidad proporcionada en el primer párrafo del PO.
Para más referencias, puede encontrar un esquema de estos resultados en Diccionario sobre superálgebras de Lie de Frappat, Sorba y Sciarrino, sección 39, p. 58-59.
Además, la fórmula de caracteres para el solo atípico representaciones de la LS $A(m,n)$ y $C(n+1)$ se proporciona en la sección 7, p. 11-12 de la misma referencia. Para más detalles, véase:
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Una fórmula de carácter para los módulos singularmente atípicos de la superálgebra de mentira sl(m/n) ,
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Fórmulas de carácter para módulos irreducibles de las superálgebras de Lie sl(m/n) ,
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Fórmulas de dimensión para la superálgebra de Lie sl(m/n)
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Una fórmula de carácter conjetural para módulos irreducibles atípicos de la superálgebra de Lie $sl(m/n)$ (donde multiplicidad atípica También se discuten las representaciones),
Finalmente, para algunas clases más de superálgebras de Lie, incluyendo $gl(m/n)$ , $osp(m/2n)$ , $q(n)$ y algunas superálgebras de Lie afines, las fórmulas de caracteres para sus módulos atípicos y las identidades del denominador, véase la discusión y las referencias en:
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Fundamentos matemáticos de la supersimetría , apéndice A, sección. A.6, p. 254-256
