Límite de una integral oscilante del libro de análisis armónico de Stein

Question

En el ``Análisis armónico de Stein Métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilantes'' (5.13, página 363) se encuentra la siguiente afirmación. Sea $\phi$ sea un polinomio real homogéneo en $\mathbb{R}^n$ de grado $k \geq 2$ que no es degenerado, en el sentido de que $\det \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i \partial x_j} \right) \not = 0$ siempre que $\mathbf{x} \not = 0$ . Entonces, si $\psi \in C_0^{\infty}$ , $$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{i (\lambda \phi(\mathbf{x}) + \boldsymbol{\xi} \cdot \mathbf{x} )} \psi(\mathbf{x}) d \mathbf{x} = O((|\lambda| + |\boldsymbol{\xi}|)^{-n/k}). $$

La afirmación no tiene pruebas y me preguntaba cómo puedo demostrarlo. Como no estoy muy familiarizado con esta área, me preguntaba si alguien podría proporcionar una prueba o cualquier ayuda sería apreciada. Muchas gracias.

Answer 1

Algo que puede ayudar a observar es que se puede restringir inmediatamente al subconjunto de $\mathbb{R}^n$ dado por $\text{supp}(\psi)\cap \{\lambda\nabla \phi(x)+|\xi|^2=0\}$ apelando al lema de la fase no estacionaria. Una versión de este resultado es la siguiente: Dada una integral oscilante de la forma $I_{\psi,\varphi}(\omega)=\int_{\mathbb{R}^d} \psi(x)e^{i\omega\varphi(x)}dx$ que satisfaga que $\nabla\varphi(x)\neq 0$ en $\text{supp}(\psi)$ entonces tenemos $$I_{\psi,\phi}(\omega)=\int_{\mathbb{R}^d} \psi(x)e^{i\omega\varphi(x)}dx=\mathcal{O}(\omega^{-N})\hspace{5mm}\forall N>0. $$ Para aplicar este lema a tu problema, primero establece $\varphi(x)=\lambda\phi(x)+\xi\cdot x$ . Entonces $\nabla \varphi(x)=\lambda\nabla \phi(x)+\xi$ . Así que lejos de este conjunto $\text{supp}(\psi)\cap \{\lambda\nabla \phi(x)+\xi=0\}$ ya tienes una decadencia mucho mejor que la que intentas demostrar arriba.

La hipótesis de que $\text{det}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x_i\partial x_j}\right)\neq 0$ implica que la ecuación $\{\lambda\nabla \phi(x)+\xi=0\}$ tiene soluciones aisladas, y la intersección con el soporte compacto de $\psi$ será finito. Por lo tanto, son estos puntos los que deberían contribuir a la decadencia (menos que rápida) que tiene esta afirmación. Parece que Stein da un breve argumento de por qué esto debería ser el caso en la parte superior de la página 364, aunque estos están modelados en sus pruebas para el decaimiento de la transformada de Fourier para las medidas de superficie de tipo finito.