Requisitos para la desigualdad de Korn en la parte $H_1$ campo vectorial

Question

Estoy viendo la desigualdad de Korn en $H^1$ campos vectoriales, como se describe en este documento de Brenner . En particular, estoy buscando cómo las seminormas definidas en los ejemplos 2.3 - 2.5 satisfacen las condiciones del Lemma 2.2.

Para dar una idea general, dejemos que $\Omega$ sea un dominio poliédrico abierto y acotado en $\mathbb{R}^d$ y $\mathcal{T}$ es una triangulación de $\Omega$ por simples (triángulos o tetraedros). Sea $\mathbf{RM}(\Omega)$ sea el espacio de los movimientos rígidos infinitesimales en $\Omega$ definido por: $$ \mathbf{RM}(\Omega) = \{ \mathbf{a} + \mathbf{\eta} \mathbf{x}: \mathbf{a} \in \mathbf{R}^d \text{ and } \mathbf{\eta} \in \mathfrak{so}(d) \} $$ donde $\mathbf{x}$ es la función vectorial de posición en $\Omega$ y $\mathfrak{so}(d)$ es el álgebra de Lie de los antisimétricos $d \times d$ matrices.

Definir el espacio $[H^1(\Omega, \mathcal{T})]^d$ como: $$ [H^1(\Omega, \mathcal{T})]^d = \{ \mathbf{v} \in [L_2(\Omega)]^d: \mathbf{v}_D = \mathbf{v}|_D \in [H^1(D)]^d \quad \forall D \in \mathcal{T} \}. $$

Tenemos que mirar la seminorma $\Phi : [H^1(\Omega, \mathcal{T})]^d \rightarrow \mathbb{R}$ que tiene las siguientes propiedades:

• $ | \Phi (\mathbf{w}) | \leq C || \mathbf{w} ||_{H^1(\Omega)}, \quad \forall \mathbf{w} \in [H^1(\Omega)]^d$ ,
• $\Phi(\mathbf{m}) = 0$ y $\mathbf{m} \in \mathbf{RM}(\Omega) \Leftrightarrow \mathbf{m} = \text{ a constant vector}$ .

Quiero tratar de entender cómo las siguientes opciones de $\Phi(\cdot)$ satisfacen las condiciones anteriores, es decir:

• $ \Phi_1(\mathbf{v}) = || Q \mathbf{v} ||_{L_2(\Omega)}, \quad \forall \mathbf{v} \in [H^1(\Omega, \mathcal{T}]^d$ , donde $Q$ es la proyección ortogonal de $[L_2(\Omega)]^d$ en el complemento ortogonal de los campos vectoriales constantes.
• $ \Phi_2(\mathbf{v}) = \sup_{\mathbf{m} \in \mathbf{RM}(\Omega); || \mathbf{m} ||_{L^2(\Gamma)} = 1; \int_\Gamma \mathbf{m} ds = 0} \int_\Gamma \mathbf{v} \cdot \mathbf{m} ds, \quad \forall \mathbf{v} \in [H^1(\Omega, \mathcal{T})]^d$ .
• $ \Phi_3(\mathbf{v}) = |\sum_{T \in \mathcal{T}} \int_T \nabla \times \mathbf{v} dx|, \quad \forall \mathbf{v} \in [H^1(\Omega, \mathcal{T})]^d$ .

Viniendo de una formación de ingeniería, me cuesta visualizar lo que la seminorma de $\Phi_i$ está representando. ¿Alguna sugerencia o indicación?

Answer 1

Puedo darte una respuesta parcial, porque no he podido comprobar todos los detalles, especialmente para $\Phi_2$ .

Empecemos con $\Phi_1$ , Primera nota $Q$ es un proyector ortogonal sobre $L^2(\Omega)$ entonces $Q^2v=Qv$ entonces $ $ \begin {align} | \Phi_1 (v)| = ||Qv\|_{L^2( \Omega )} \leq\ |v\|_{L^2( \Omega )} \leq |v|_{H^1( \Omega , \mathcal {T} )} \quad \forall v \in H^1( \Omega ) \end {align} si $\Phi_1(\mathbf{m})=Q\mathbf{m}=0$ y $\mathbf{m} \in \mathbf{RM}(\Omega)$ (Esta suposición es innecesaria aquí) , entonces debe ser $\mathbf{m}$ es ortogonal al complemento ortogonal de las funciones constantes. Por lo tanto, $\mathbf{m}$ debe ser una constante. Lo contrario si $\mathbf{m}$ es constante por lo que $\Phi_1(\mathbf{m})=Q\mathbf{m}=0$ porque no está en el complemento ortogonal de las funciones constantes. En particular los vectores constantes son movimientos rígidos.

Ahora procedemos a $\Phi_2$ por la desigualdad de Cauchy Schwarz para cualquier $\mathbf{m} \in \mathbf{RM}(\Omega)$ con $\|\mathbf{m}\|_{L^2(\Gamma)}=1$ y $\int_{\Gamma}\mathbf{m}~ds = 0$ (Todavía no lo utilizamos) \begin {align} \int_\Gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {m}~ds & \leq \|\mathbf {v}|_{L^2( \Gamma )}\| \mathbf {m}|_{L^2( \Gamma )} \\ & \leq \|\mathbf {v}|_{L^2( \partial \Omega )} = \| \gamma_0 ( \mathbf {v})||{L^2( \partial \Omega )} \leq C\| \mathbf {v}|_{H^1( \Omega )} \quad \forall \mathbf {v} \in H^1( \Omega ) \end {align} Dónde $\gamma_0:H^1(\Omega) \to L^2(\partial \Omega)$ es el operador de traza, es decir $\gamma_0(\mathbf{v})=\mathbf{v}|_{\partial \Omega}$ . Este operador es continuo, pero es bastante complicado demostrarlo Ver Teorema de la traza Ch 1.6 en [1]. Así que tomando la suprema obtenemos $|\Phi_2(v)|_{L^2(\Omega)}\leq C\|\mathbf{v}\|_{H^1(\Omega)}$ .

Ahora procedemos a $\Phi_3$ Obsérvese que en dos dimensiones (se puede utilizar un truco similar en tres dimensiones) tenemos \begin {align} | \nabla \times \mathbf {u} |^2 &= \left | \frac { \partial u_2}{ \partial x_1 }- \frac { \partial u_1}{ \partial x_2 } \right |^2 \\ & \leq 2 \left | \frac { \partial u_2}{ \partial x_1 } \right |^2 + 2 \left | \frac { \partial u_1}{ \partial x_2 } \right |^2 \\ & \leq 2 \left | \frac { \partial u_2}{ \partial x_1 } \right |^2 + 2 \left | \frac { \partial u_1}{ \partial x_2 } \right |^2 + 2 \left | \frac { \partial u_1}{ \partial x_1 } \right |^2 + 2 \left | \frac { \partial u_2}{ \partial x_2 } \right |^2 = 2|Du|_2^2, \end {align} Dónde $|Du|_2$ es la norma de Frobenius y $D$ la matriz jacobiana. Ahora bien, como $\mathbf{v} \in H^1(\Omega)$ atamos \begin {align} \Phi_3 ( \mathbf {v}) &= \left | \sum_ {T \in \mathcal {T} } \int_ {T} \nabla \times \mathbf {v} \right | = \left | \int_ { \Omega } \nabla \times \mathbf {v} \right | \\ & \leq \|\Omega\ |^{1/2} \left ( \int_ { \Omega }| \nabla \times \mathbf {v} |^2 \right )^{1/2} \\ & \leq \|\Omega\ |^{1/2} \sqrt {2} \left ( \int_ { \Omega }|D \mathbf {v} |^2 \right )^{1/2} \\ & \leq \|\Omega\ |^{1/2} \sqrt {2} \| \mathbf {v}|_{H^1( \Omega )}. \end {align}

Me fui para comprobar qué pasa cuando $\mathbf{m}$ es un movimiento rígido. No sé cómo lidiar con eso. Pero espero que esto sea útil.

Referencias: [1] BRENNER, Susanne; SCOTT, Ridgway. The mathematical theory of finite element methods. Springer Science & Business Media, 2007.