¿Cuál es la derivada exterior intuitivamente?

Question

En realidad tengo varias preguntas relacionadas, no vale la pena abrir diferentes hilos:

1. ¿Cuál es la derivada exterior intuitivamente? ¿Cuál es su significado geométrico? Una posible respuesta que conozco es que es dual con el operador de límite de la homología singular. Sin embargo, preferiría una interpretación más directa.

2. ¿Cuál es una definición conceptualmente agradable de la derivada exterior?

Answer 1

Creo que la mejor explicación está en el libro de Arnold "Métodos matemáticos de la mecánica clásica". Aquí está: después de fijar un gráfico en una variedad, se puede decir que el valor de$d\omega$ ($\omega$ es una forma n) en los vectores tangentes$(\xi_1, ...,\xi_{n+1})$ en el punto$x_0$ es igual al coeficiente de$(n+1)$ - parte lineal de la función$F(\varepsilon)=\int_{\partial V(\varepsilon)} \omega$, donde$V(\varepsilon)$ es un "paralelepípedo curvilíneo" con vértices$x_0, x_0+\varepsilon \xi_1, ..., x_0+\varepsilon \xi_{n+1}$:$F(\varepsilon)=(d\omega)(x_0)(\xi_1, ...,\xi_{n+1})\varepsilon^{n+1}+o(\varepsilon^{n+1})$.