Cambio de variables en la EDP

Question

Necesito utilizar un cambio de variables en esta EDP $f_{xx} - f_{yy} = 0$ , utilizando

$s = (x + y)/2$ , $t = (x - y)/2$

Me sale $f_{ts} = 0$

Pero me piden que deduzca que la solución general es de la forma f $(x,y) = h(x + y) + g(x - y)$ donde h y g son funciones arbitrarias.

El hecho de que no esté muy seguro de cómo deducir esto podría significar que he cometido un error en mi cambio de variables, ¿o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Sólo tienes que ir un poco más allá. La ecuación $f_{st}=0$ le dice que $f_t$ es constante con respecto a $s$ por lo que debe ser una función de $t$ :

$$f_{t}=G(t).$$

Sea la integral de $G$ sea $g$ . Entonces esta ecuación nos dice que

$$f=g(t)+h(s),$$

ya que la constante de integración debe ser constante con respecto a $t$ . ¿Puedes terminar?