Supongamos que $K$ es una extensión finita de $Q$ y que $\alpha$ es algebraico sobre $K$ . Demostrar que $\alpha$ es algebraico sobre $Q$ .

Question

Supongamos que $K$ es una extensión finita de $Q$ y que $\alpha$ es algebraico sobre $K$ . Demostrar que $\alpha$ es algebraico sobre $Q$ .

La pista es utilizar la Ley de la Torre. Sin embargo, no veo dónde puedo utilizar la Ley de la Torre.

Answer 1

Tenemos la torre de los campos

$\Bbb Q \subset K \subset K(\alpha), \tag 1$

con ambos

$[K(\alpha):K], [K:\Bbb Q] < \infty; \tag 2$

por lo que la ley de la torre da como resultado

$[K(\alpha):\Bbb Q] = [K(\alpha):K][K:\Bbb Q] < \infty; \tag 3$

desde

$\alpha \in K(\alpha), \tag 4$

se deduce entonces que $1$ y la primera $n = [K(\alpha):\Bbb Q]$ poderes de $\alpha$ ,

$1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^n \tag 5$

son linealmente dependientes sobre $\Bbb Q$ Así pues, tenemos algunos

$q(x) \in \Bbb Q[x], \deg q \le n, \tag 6$

con

$q(\alpha) = 0, \tag 7$

el criterio para $\alpha$ sea algebraico sobre $\Bbb Q$ .