Encontrar la composición de dos funciones a trozos

Question

Buscamos encontrar $f\circ g$ con $f,g$ definido por

$$f(x)= \begin{cases} x^2&\text{if}\, x\geq 0\\ x-2&\text{if}\, x<0 \ \end{cases}$$

$$g(x) = \begin{cases} x+3&\text{if}\, x\geq 4\\ 2x&\text{if}\, x<4\ \end{cases}$$

Esta pregunta me ha desconcertado. Pero lo que se me ocurrió fue:

$$f \circ g = \begin{cases} (x+3)^2&\text{if}\, x\geq 1\\ 2x-2&\text{if}\, x<-2\ \end{cases}$$

¿Es esto correcto? Y si no, ¿alguien puede ayudar a explicarlo?

Answer 1

Considere $f(g(2))=f(2(2))=f(4)=16$ pero según tu respuesta tienes $f(g(2))=(2+3)^2=25$ . Así que su respuesta no es correcta.

Esto es lo que debes empezar:

$$f(g(x))=\begin{cases}(g(x))^2 & \text{ if } g(x) \geq 0\\ g(x)-2 & \text{ if } g(x) <0.\end{cases}$$

Ahora observe que $g(x)<0$ sólo cuando $g(x)=2x$ y $x<0$ . Así, tendremos

$$f(g(x))=\begin{cases}(g(x))^2 & \text{ if } g(x) \geq 0\\ 2x-2 & \text{ if } x <0.\end{cases}$$

Consideremos ahora el caso en que $g(x) \geq 0$ . Observe que $g$ es no negativo en $[0, \infty)$ de la siguiente manera: $$g(x) = \begin{cases} x+3&\text{if }\, x\geq 4\\ 2x&\text{if }\, 0 \leq x<4 \end{cases}$$

Así, tendremos

$$f(g(x))=\begin{cases}(x+3)^2 & \text{ if } x \geq 4\\(2x)^2 & \text{ if } 0 \leq x<4\\ 2x-2 & \text{ if } x <0.\end{cases}$$