El Jacobiano de una suave curva proyectiva $X$ de género $g$ es de hecho un abelian variedad de dimensión $g$, cuyos puntos de definir parámetros de línea de paquetes de grado cero en $X$.
Pero no es absolutamente falso que cada abelian la variedad es una Jacobiana: reconocer Jacobians entre abelian variedades es la Schottky problema (en realidad es un poco más técnico: usted tiene que tomar el director de las polarizaciones en cuenta).
Así Jacobians no son suficientes para el estudio de todos los abelian variedades.
Por otra parte la definición de Jacobians puramente algebraica es un problema muy difícil, primero resuelto por Weil.
Él inventó resumen variedades algebraicas, que se define por encolado, precisamente para la construcción de la verificación Jacobiana: antes de él variedades se supone que proyectiva, es decir, incrustado en un espacio proyectivo .
(En realidad el Jacobians son proyectivos después de todo, sino que se demostró más tarde por Chow)
Así que, no, no es satisfactoria para el estudio de abelian variedades a través de la Jacobians y Mumford eligió el enfoque correcto... [sorpresa, sorpresa :-)]
