¿Es la integral de Ito una martingala?

Question

Para $a > 0$ es el It $\hat{o}$ integral,

$$\int_{0}^{t} e^{e^{B(s)}}\mathbb{1}_{s<\tau_{a}}dB(s)$$ una martingala en el intervalo $[0,T]$ para $T < \infty$ ?

Aquí, $\tau_{a}$ es el primer tiempo tal que B(t) = a.

Mi enfoque -

Sé que para que un It $\hat{o}$ integral sea martingala, podemos comprobar si $$\int_{0}^{T} \mathbb{E}[e^{e^{B(s)}}\mathbb{1}_{s<\tau_{a}}]ds < \infty$$ se mantiene o no (porque en este caso, el coeficiente de deriva es $0$ ).

$$\int_{0}^{T} \mathbb{E}[e^{e^{B(s)}}\mathbb{1}_{s<\tau_{a}}]ds = \int_{0}^{\tau_{a}} \mathbb{E}[e^{e^{B(s)}}]ds = ? $$

Aquí es donde estoy ligeramente atascado. Sé cómo calcular $e^{B(s)}$ pero para calcular $e^{e^{B(s)}}$ Tendré que usar la integración.

Tengo dos preguntas -

1) ¿Estoy en el camino correcto?

2) ¿Hay algún enfoque alternativo (tal vez más fácil) para resolver esto?

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

En primer lugar, dos observaciones sobre su intento: Para demostrar que una integral de Itô es una martingala, hay que comprobar la integrabilidad cuadrada, es decir $\int_0^t f(s) \, dB_s$ es una martingala si

$$\int_0^t \mathbb{E} (|f(s)|^2) \, ds < \infty.$$

En tu ejemplo, no hay mucha diferencia si hay un cuadrado o no, pero en general sí. En segundo lugar,

$$\int_0^T \mathbb{E}(e^{e^{B_s}} 1_{\{s<\tau_a\}}) \, ds = \int_0^{\tau_a} \mathbb{E}(e^{e^{B_s}}) \, ds$$

no puede ser cierto. ¿Por qué? Pues porque el lado izquierdo es un objeto determinista, es decir, sólo un número real. En cambio, en el lado derecho el límite de la integral superior es una variable aleatoria (a saber, $\tau_a$ ), por lo que la integral será una variable aleatoria.

Esta es una de las posibilidades:

Dado que el movimiento browniano tiene trayectorias muestrales continuas (con probabilidad $1$ ), tenemos $B_s(\omega) \leq a$ para todos $s \leq \tau_a(\omega)$ . Debido a la monotonicidad de la función exponencial, esto implica $$e^{B_s(\omega)} \leq e^a, \qquad s \leq \tau_a(\omega).$$ Utilizando una vez más la monotonicidad, obtenemos $$e^{2e^{B_s(\omega)}} \leq e^{2e^{a}}, \qquad s \leq \tau_a(\omega).$$ Esto da $$\mathbb{E}(e^{2e^{B_s}} 1_{\{s<\tau_a\}}) \leq e^{2e^{a}} \mathbb{P}(s \leq \tau_a) \leq e^{2e^{a}}.$$ Por lo tanto, $$\int_0^T\mathbb{E}\big( \big|e^{e^{B_s}} 1_{\{s<\tau_a\}} \big|^2 \big)\, ds = \int_0^T\mathbb{E}\big( e^{2e^{B_s}} 1_{\{s<\tau_a\}} \big)\, ds \leq e^{2e^{a}}< \infty,$$ lo que implica que la integral de Itô $\int_0^t e^{e^{B_s}} 1_{\{s<\tau_a\}} \, dB_s$ es una martingala.