Fórmula para la capacidad calorífica específica molar en un proceso politrópico

Question

Encontré esta fórmula para un proceso politrópico, definido por $PV^n = {\rm constante}$, en un libro:

$$C = \frac R{\gamma-1} + \frac R{1-n} $$ donde $C$ es calor específico molar y $\gamma$ es exponente adiabático. No sé cómo se derivó, ¿alguien puede guiarme?

Answer 1

Que $C$ es el calor específico para el ciclo dado, es decir $$dQ=nCdT$$ Esto es para $n$ moles de gas. (no el $n$ que mencionaste en la pregunta)

Supondré que $$PV^z=\text{constante}$$

$$nCdT=dU+PdV$$ $$\int nCdT=\int nC_vdT+\int PdV$$

$$nC\Delta T=nC_v \Delta T+\int \frac{PV^z}{V^z}dV$$

Como el numerador es una constante, sácala afuera!

También nota que $$P_iV_i^z=P_fV_f^z$$

$i = \text{inicial}$

$f=\text{final}$

Centrándonos solo en la integral,

$$PV^z\int V^{-z}dV$$

$$PV^z\left[\frac{V^{-z+1}}{-z+1}\right]^{V_f}_{V_i}$$

Nota que el $PV^z$ es el mismo para el paso inicial y final. Entonces, lo multiplicamos por dentro y hacemos este trabajo ingenioso:

$$-\frac{P_iV_i^zV_i^{-z+1}}{-z+1}+\frac{P_fV_f^zV_f^{-z+1}}{-z+1}$$

$$-\frac{P_iV_i}{-z+1}+\frac{P_fV_f}{-z+1}$$

Nota que $PV=nRT$

$$\frac{nR\Delta T}{-z+1}$$

donde $\Delta T=T_f-T_i$

Ecuaación final:

$$nC\Delta T=nC_v \Delta T+\frac{nR\Delta T}{-z+1}$$

$$C=C_v+\frac{R}{1-z}$$

Esto te llevará a la ecuación original, puedes encontrar $C_v$ por

$$C_p/C_v=\gamma$$

$$C_p-C_v=R$$

Usando $C_p=\gamma C_v$,

$$C_v\left(\gamma-1\right)=R$$

$$C_v=\frac{R}{\gamma-1}$$

Sustituyendo en la ecuación original,

$$C=\frac{R}{\gamma-1}+\frac{R}{1-z}$$

Answer 2

Tal vez valga la pena derivarlo de la definición diferencial

$$ dQ = PdV + dU \tag{1}$$

Recordando que $\frac{dQ}{ndT}=C$,

$$ C= \frac{1}{n} ( P \frac{dV}{dT} + \frac{dU}{dT}) \tag{2}$$

De la ley de gases ideales y la ecuación politrópica podemos afirmar

$$ (PV^{\gamma} )V^{1- \gamma} = nRT \tag{3}$$

Considerando diferenciales mientras se nota que $PV^{\gamma}$ es constante:

$$ PV^{\gamma} (1- \gamma) V^{-\gamma} dV = nRdT$$

Por lo tanto,

$$ \frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P(1- \gamma) } \tag{4} $$

también recordando que para un gas ideal, $ dU= nC_v dT$ e insertando todo en la ecuación (2):

$$ C= \frac{R}{(1- \gamma)} + C_v$$

que es la expresión requerida

Answer 3

También podemos derivar el resultado sin integración:

$ PV^n=constante $ se puede escribir como $ TV^{n-1}=constante $ $$ nCdT=dU+PdV $$ Dividiendo esta ecuación en todo por $ dT $, diferenciando $ TV^{n-1} = constante $ con respecto a la temperatura, e insertando $ {dV/dT} $ en la ecuación dará el resultado deseado.