Grupos de enteros con sumas iguales, sumas iguales de cuadrados, sumas iguales de cubos....

Question

Los siguientes tres grupos de 6 números tienen sumas iguales, sumas de cuadrados, sumas de cubos,... hasta la quinta potencia. ¿Cómo se pueden encontrar estos grupos?

784 134 17 901 342 576

12 906 596 322 769 149

684 234 917 1 226 692

Tratando de relacionar esto con las identidades de Newton para las sumas de raíces he observado que, cuando los números se toman como raíces de polinomios, los polinomios producidos son idénticos hasta una constante:

$x^6 - 2754 x^5 + 2845537 x^4 - 1356302772 x^3 + 292772763028 x^2 - 23245284585024 x + 316988249001984$

$x^6 - 2754 x^5 + 2845537 x^4 - 1356302772 x^3 + 292772763028 x^2 - 23245284585024 x + 239069505576384$

$x^6 - 2754 x^5 + 2845537 x^4 - 1356302772 x^3 + 292772763028 x^2 - 23245284585024 x + 22953865281984$

¿Qué está pasando aquí?

Answer 1

Los coeficientes de un polinomio mónico se pueden expresar como funciones de las sumas de las potencias de las raíces. Y en este caso las sumas de las potencias de las raíces son todas iguales. Por tanto, los coeficientes son iguales. (Los términos constantes no son iguales porque implican la suma de las sexto potencias de las raíces, que no son iguales).

Tomemos como ejemplo el polinomio $$(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$$ El coeficiente de $x^2$ es $-(a+b+c)$ .

El coeficiente de $x$ es $ab+bc+ca=\frac12((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2))$ .

Y el término constante es $-abc=-\frac16(a+b+c)^3+\frac12(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-\frac13(a^3+b^3+c^3)$ .