Estoy hojeando la Aritmética de las Curvas Elípticas de Silverman y estoy en la Proposición VII.4.1.
Dejemos que $E/K$ sea una curva elíptica sobre un campo local $K$ con valoración $v$ y campo de residuos $k$ . Si $E$ tiene una buena reducción en $v$ y $m\geq 1$ es un número entero tal que $v(m)=0$ entonces $E[m]$ no está ramificado en $v$ .
En la demostración, extendemos K a K' de forma que $E[m]\subset E(K')$ . Sea $v'$ sea la valoración de $K'$ y $k'$ su campo de residuos.
Si $E$ tiene una buena reducción, entonces una ecuación mínima de Weierstrass tiene $v(\Delta)=0$ . Ahora $v'(\Delta) = e(v'|v)v(\Delta) =0$ . Así que $E$ tiene una buena reducción en $v'$ . Esto implica que el mapa de reducción $$E[m] \to \tilde{E}(k')$$ es inyectiva.
Ahora dejemos que $\sigma \in I_v$ y $P\in E[m]$ . Silverman afirma que $\sigma$ actúa trivialmente sobre $\tilde{E}(k')$ por definición. Sin embargo, por definición $\sigma$ actúa trivialmente sobre $k$ y por lo tanto trivialmente en $\tilde{E}(k)$ . No veo por qué la acción es también trivial en la extensión $k'$ .
