$\mathbb{R}\setminus F$ es equivalente en homotopía al conjunto discreto con $n+1$ puntos

Question

Dejemos que $F$ sea un conjunto de $n$ números reales. Demuestre que $\mathbb{R}\setminus F$ es equivalente en homotopía al espacio discreto con $n+1$ puntos. Por lo tanto, dar un cálculo de $\pi_0(\mathbb{R}\setminus F)$ , donde $\pi_0(X)$ son los componentes de la trayectoria de un espacio $X$ .

Me está costando un poco arrancar aquí. He hecho un dibujo y veo claramente lo que pide la pregunta, pero no sé cómo empezar a escribirlo formalmente

Answer 1

Dado que cada intervalo abierto es equivalente en homotopía a un único punto, el lema de encolado implica que $\mathbb R\setminus F$ es equivalente en homotopía al espacio discreto con $n+1$ puntos, como $\mathbb R\setminus F$ es la unión de $n+1$ intervalos abiertos disjuntos. Más concretamente, si escribimos $X_1,\cdots,X_{n+1}$ para el $n+1$ intervalos abiertos disjuntos y elegir arbitrariamente $x_i\in X_i$ entonces $$ p_i\circ\iota_i\simeq\mathrm{id}_{\{x_i\}},\iota_i\circ p_i\simeq \mathrm{id}_{X_i}, $$ donde $p_i\colon X_i\to \{x_i\}$ y $\iota_i\colon\{x_i\}\to X_i$ son respectivamente la proyección a $x_i$ y el mapa de inclusión. Escribamos $H_i\colon\{x_i\}\times I\to\{x_i\}$ y $F_i\colon X_i\times I\to X_i$ para estas dos homotopías ( $I=[0,1]$ ). Entonces el lema de encolado implica que $$ H\colon \{x_1,\cdots,x_{n+1}\}\times I\to \{x_1,\cdots,x_{n+1}\} $$ y $F\colon\mathbb R\setminus F\times I\to\mathbb R\setminus F$ que se definen por $H|_{\{x_i\}\times I}=H_i$ y $F|_{X_i\times I}=F_i$ son continuos. Así, $$ p\circ\iota\overset{H}{\simeq}\mathrm{id}_{\{x_1,\cdots,x_{n+1}\}},\iota\circ p\overset{F}{\simeq}\mathrm{id}_{\mathbb R\setminus F}, $$ donde $p\colon\mathbb R\setminus F\to \{x_1,\cdots,x_{n+1}\}$ se define por $p|_{X_i}=p_i$ y $\iota\colon\{x_1,\cdots,x_{n+1}\}\to\mathbb R\setminus F$ se define por $\iota|_{\{x_i\}}=\iota_i$ (Su continuidad se obtiene también por el lema de encolado). Por tanto, $\mathbb R\setminus F$ es equivalente en homotopía a $\{x_1,\cdots,x_{n+1}\}$ .

Los componentes de la ruta de $\mathbb R\setminus F$ son exactamente estos $n+1$ intervalos abiertos disjuntos.