Determinar si una relación es transitiva o no.

Question

Al intentar determinar si las siguientes relaciones son transitivas o no, me quedé atascado en un punto intermedio. Las siguientes son las dos relaciones -

1. Relación R en el conjunto $\mathbb{N}$ de números naturales definidos como $$R = \{(x,y): y = x + 5 \ \text{and} \ x < 4 \} $$

Sé que el dominio de la relación anterior será : $\{1,2,3\}$ y el rango de la relación anterior será : $\{6,7,8\}$ .

2. Relación R en el conjunto A de seres humanos en una ciudad en un momento dado por - $$ R = \{(x,y) : x \ \text{is wife of} \ y\} $$

Para ello, sé que el dominio de la relación anterior será : $\{\text{married girls}\}$ y el rango de la relación será : $\{\text{married males}\}$ .

Desde el definición de una relación transitiva -

"En matemáticas, una relación binaria R sobre un conjunto X es transitiva si siempre que un elemento a está relacionado con un elemento b, y b está a su vez relacionado con un elemento c, entonces a también está relacionado con c". - Definición de relación transitiva(Wiki)

Para el Primer caso :

$$R = \{(1,6),(2,7),(3,8)\}$$

No creo que esto obedezca a la definición de relación transitiva.

Para el Segundo caso :

$$R = \{({MG}_1,{MM}_1),({MG}_2,{MM}_2), \dots\} $$ Dónde: ${MG}_1$ = Chica casada(1); ${MM}_1$ = Hombre casado(1)

De nuevo, si hubiera sido una relación transitiva, entonces debería haber elementos - $$\{({MG}_1,{MM}_1),({MM}_1,{MG}_2),({MG}_2,{MG}_1)\}$$

Ahora, obviamente, una esposa no puede ser la esposa de otra chica (wlog).

Por lo tanto, no debería ser una relación transitiva también. Pero, según el esquema de marcado, es una relación transitiva. ¿Estoy entendiendo algo mal? Cualquier ayuda será muy apreciada.

NOTA : Esta no es una pregunta de tarea/tarea/prueba. Es una pregunta del año pasado con la que me encontré mientras resolvía algunos modelos de documentos para la preparación adecuada de mi examen. ( Para futuras referencias, en caso de que haya algún interesado. )

Answer 1

Recuerda que la implicación:

$$p \rightarrow q$$

Siempre es cierto cuando $p$ es falso, independientemente del valor de verdad de $q$ .

Por lo tanto, considere su primera relación $R = \{(1,6),(2,7),(3,8)\}$ . Tenga en cuenta que: $$(x,y)\in R \wedge (y,z)\in R$$

es siempre falso, de ahí la implicación:

$$(x,y)\in R \wedge (y,z)\in R \rightarrow (x,z)\in R$$

es siempre verdadera, y por lo tanto $R$ es transitivo.

Por el mismo principio, su segunda relación también es transitiva.

Answer 2

Ambas relaciones son transitivas por vacuidad. En el primer caso habría que demostrar que, por ejemplo, si 1 está relacionado con 6 y 6 está relacionado con algún $c$ entonces $1$ está relacionado $c$ . Como 6 no está relacionado con nada, la condición de transitividad se mantiene.

Del mismo modo, para el segundo caso habría que probar que: si $x$ es esposa de $y$ y $y$ es esposa de $z$ entonces $x$ es esposa de $z$ se satisface de nuevo porque $y$ nunca es esposa de nadie ya que es un hombre.