Aplicaciones de Belyi del teorema de

Question

Belyi del teorema (1979) se expresa de la siguiente manera:

Una suave curva proyectiva sobre $\mathbb C$ se define más de un número de campo si y sólo si existen existe un número finito de morfismos (de las variedades de más de $\mathbb C$) $t:X\longrightarrow\mathbb P^1_\mathbb C$ con $3$ crítico valores.

Me gustaría saber si hay algunas importantes aplicaciones de este teorema.

Gracias de antemano.

Answer 1

Hay uno bastante famoso de la aplicación, que dice que el absoluto grupo de Galois de $\mathbb{Q}$ (completamente aritmética objeto!) se encuentra en el interior de la exterior de automorfismos de a $\pi_1(\mathbb{P}^1-\{0,1,\infty\})$ (completamente topológico).

En símbolos, esto nos dice que hay un inyectiva grupo mapa

$$\pi_1^{\text{et}}(\text{Spec}(\mathbb{Q}))=\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\to\text{Out}(\pi_1^{\text{Top}}(\mathbb{P}^1_\mathbb{C}-\{0,1,\infty\}))$$

(Belyi del teorema se usa para mostrar que el mapa es inyectiva). Este es uno de los primeros grandes teoremas que han motivado el estudio de lo que Grothendieck llamado dessin d'enfants'. De hecho, Belyi del teorema es una parte integral de muchos de los aspectos del estudio de dessin d'enfants.

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Aquí hay otro, muy sorprendente aplicación de Belyi del teorema.

Hay un famoso teorema de Faltings (anteriormente conocido como la conjetura de Mordell) que establece que si $C$ es una curva suave sobre $\mathbb{Q}$ de género mayor que $1$, $\mathcal{O}_K$- puntos de $C$ son finitos. Esto, por supuesto, es super interesante. Implica, por ejemplo, que incluso si FLT no fuera verdad, no podía ser sólo un número finito de soluciones para cada una de las $n\geqslant 3$. Pero, se aplica así, muchas más curvas, y otros de FLT. Promueve la tricotomía entre género $0$, $1$, y mayor que $1$ curvas.

El intento de prueba de Mordell de la conjetura (obviamente por Falting) fue responsable por el desarrollo de muchos moderna de las teorías. Por ejemplo, Arakelov teoría fue desarrollada en gran parte a tratar y aplicar intersección teórica de las técnicas para demostrar Mordell.

Hay otro teorema que es famoso, y por lo cual estoy seguro de que has encontrado. La famosa conjetura ABC con su sutilmente simple declaración. También estoy seguro que usted ha oído que recientemente Mochizuki (un gran jugador en el campo de la anabelian geometría, algo a esta pregunta tiene mucho que ver con!) dice que ha demostrado que la conjetura ABC.

Una de las razones por las que la atención a la gente acerca de la conjetura ABC es que ello implica (por el teorema de Granville) el codiciado último teorema de Fermat, para lo suficientemente grandes exponentes. Menos conocido es que aunque ABC también implica la conjetura de Mordell. Esto fue demostrado por Noam Elkies, y fundamentalmente se basa en Belyi del teorema. Usted puede encontrar el artículo original aquí.

Answer 2

Una declaración equivalente de Belyi del Teorema es que por cada curva algebraica $X$ definido a lo largo del $\overline{\mathbb{Q}}$, hay un número finito de índice subgrupo $\Gamma$ $\Gamma(1) = \operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})$ tal que

$\Gamma \backslash \overline{\mathcal{H}} \cong X(\mathbb{C})$,

o en otras palabras que el complejo correspondiente curva algebraica es uniformized por un número finito de índice de un subgrupo de la modulares grupo. (La equivalencia viene del hecho de que $\Gamma(2)$ es un grupo libre en dos generadores que actúa libremente en la parte superior halfplane y la correspondencia entre cubriendo espacios y subgrupos del grupo fundamental.)

Desde la perspectiva de la curva algebraica y teoría modular de la curva de la teoría, esto es realmente sorprendente: de alguna manera, cada "aritmética" curva algebraica (es decir, con algebraicas módulos) es un sistema modular de la curva! Sin embargo, el problema es que el uniformizing subgrupo $\Gamma$ en general, tienen que estar muy lejos de ser una congruencia subgrupo, es decir, que contiene algunos de los principales de la congruencia de los subgrupos

$\Gamma(N) = \operatorname{Ker}(\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z}) \rightarrow \operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}))$.

Por ejemplo, cada curva algebraica uniformized por una congruencia subgrupo de nivel $N$ se puede definir, junto con todos sus automorfismos,$\mathbb{Q}(\zeta_N)$, y por tanto, cada curva algebraica uniformized por cualquier congruencia subgrupo puede ser definido, junto con todos sus automorfismos, a través de una abelian campo de número. Así que, a pesar de la existencia de noncongruence subgrupos ya que sigue de la teoría de grupos de la libre grupo de $\Gamma(2)$ -- por ejemplo, que se ha finito cocientes con un montón de Jordania Titular de otros factores de primer orden y grupos $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ (por ejemplo, el Monstruo simple grupo!) -- Belyi del Teorema muestra que noncongruence subgrupos no sólo existir, sino existir en suficiente abundancia para que en toda la aritmética de curvas.

(Advertencia: El uso de la "aritmética" no es la norma en esta materia. Pero he llegado a rechazar el uso estándar: parece advertir en contra de estudio de la aritmética geometría de ciertas curvas que creo que pueden ser ricamente merecedores de la aritmética de estudio.)

Answer 3

Aquí hay otros tres "aplicaciones":

1) Belyi del teorema (en una forma más fuerte debido a Lily Khadjavi) es utilizado en el trabajo de Couveignes-Edixhoven-Bruin en aspectos computacionales de las formas modulares; ver http://arxiv.org/abs/1403.6404 (Teorema de la 5.0.1) también se puede utilizar para probar los límites en Faltings alturas de las tapas de las curvas (Teorema 1.3.1 y el Teorema de la 6.0.4)

2) Belyi del teorema puede ser utilizado para establecer un caso especial de "Szpiro de pequeños puntos conjetura"; ver http://arxiv.org/abs/1311.0043 .

La manera en que estas aplicaciones de trabajo es como sigue. Por Belyi del teorema, cualquier curva sobre $\overline{\mathbb{Q}}$ tiene una bien definida Belyi grado. Lily Khadjavi demostrado que la Belyi grado de una curva de $X$ puede ser explícita (es decir, no sólo con eficacia como Belyi mostró) delimitada en términos de los datos asociados a una función racional $\pi:X\to \mathbf P^1$. Ahora el uso de Arakelov teoría de relacionar el Faltings altura de $X$ a los datos asociados a $\pi$.

3) Belyi del teorema es indispensable en la obra de Bauer, Catanese et al. en la acción de la absoluta Galois en el grupo de los módulos de superficies de tipo general; véase, por ejemplo http://arxiv.org/abs/1303.2248