Prueba de que $l^p$ con $1 \leq p < \infty$ es denso en $c_0$

Question

Prueba de que $l^p$ con $1 \leq p < \infty$ es denso en $c_0$ Mi definición de $c_0$ es la siguiente:

$$ c_0 = \left\{ x \vert \lim_{k\to \infty} x_k = 0\right\}.$$

Quiero probarlo así: cada elemento de $c_0$ puede escribirse como límite de $l^p$ . Primera pregunta, ¿debo utilizar el $p$ ¿la norma o la sup norma? Segunda pregunta, ¿cómo debo empezar dado que creo que esta afirmación es cierta?

Answer 1

El espacio $c_0$ se suele considerar como un subespacio de $\ell^\infty$ y, por tanto, hereda automáticamente la supra-norma. Para cualquier $x = (x_1, x_2, \ldots) \in c_0$ se puede truncar para obtener un $\ell^p$ secuencia, es decir, se puede considerar $$ \hat x^{(n)} = (x_1, x_2, \ldots, x_n , 0, 0 ,\ldots) \in \ell^p. $$ Entonces $$ \Vert \hat x^{(n)} - x\Vert_{\infty} = \sup_{j \geq n+1} |x_j|, $$ que evidentemente puede hacerse arbitrariamente pequeño tomando $n$ sea grande, ya que $x_j \to 0$ como $j \to \infty$ .