¿Se puede llegar a demostrar el teorema de Cantor (existencia de infinitos de grado superior) a partir de la paradoja de Russell?

Question

He estado pensando en esto: Se puede llegar a la paradoja de Russell a partir del argumento de Cantor, pero ¿podemos hacer el camino inverso, es decir, podemos demostrar el argumento diagonal de Cantor (a menudo denominado paradoja de Cantor) a partir de la conclusión de la paradoja de Russell utilizando el esquema del axioma de la especificación/sepración: no hay conjunto universal.

¿Qué piensan los demás?

Cuanto más pienso en ello, más me doy cuenta de que la prueba de Cantor de que la cardinalidad del conjunto de potencias es estrictamente mayor que el conjunto, lo que implica, niveles más altos de infinito, es mucho más fuerte que la paradoja de Russell.

Pero me gustaría ver un argumento en el otro sentido, porque tengo la ligera sospecha de que se puede hacer.

Answer 1

Si asumimos que la paradoja de Russell se mantiene, entonces asumimos efectivamente que hay una contradicción en el sistema.

De una contradicción todo es demostrable. En particular el teorema de Cantor.

(Véase también: http://xkcd.com/704/ )

Answer 2

Bueno como la paradoja de Russell te da una contradicción y sabemos que una vez que tenemos una contradicción podemos demostrar cualquier afirmación que queramos, concretamente el teorema de Cantors, sin embargo esto no sería muy interesante (útil) ya que cualquier sistema que pueda demostrar la paradoja de Russell es inconsistente y puede demostrar todo (además no habría modelos para estos sistemas).

Cabe destacar que, aunque la prueba de Cantor da lugar a una paradoja en la teoría de conjuntos ingenua, una vez que trabajamos con un buen sistema axiomático (ZF) ya no lo hace, ya que no permitimos conjuntos de tamaño tan grande.