Una pregunta sobre las fijaciones de las células.

Question

Dejemos que $n \geq 2$ y que $\alpha: S^{n-1} \to S^{n-1}$ sea un mapa continuo de grado $a$ lo que significa que el homomorfismo inducido en el $n$ -La homología de la quinta es la multiplicación por $a$ . Dejemos que $S^{n-1} \cup_{\alpha} D^n$ sea el espacio que se obtiene al adjuntar un $n$ -de la célula a $S^{n-1}$ a lo largo de $\alpha$ . Calcula $H_k( S^{n-1} \cup_{\alpha} D^n)$ para todos $k$ .

Los grupos de homología de los que hablo aquí son los del complejo $S_{\ast}(X)$ para un espacio topológico $X$ Más concretamente $S_{\ast}(X)$ es el complejo $... \to S_n(X) \to ... \to S_2(X) \to S_1(X) \to S_0(X)$ donde $S_k(X)$ es el grupo abeliano libre generado por todos los simples singulares de dimensión $k$ es decir, todos los mapas continuos $\sigma: \Delta^k \to X$ . Me siento un poco perdido en este ejercicio, y se supone que es fácil...

Answer 1

El Teorema de Mayer-Vietoris dice que tenemos una larga secuencia exacta

$$ 0\to H_n(S^{n-1} \cup_{\alpha} D^n)\overset{\partial}\to H_{n-1}(S^{n-1} \cap D^n)\overset{i_1\oplus i_2}\to H_{n-1}(S^{n-1})\oplus H_{n-1}(D^n)\overset{p_1-p_2}\to H_{n-1}(S^{n-1} \cup_{\alpha} D^n)\to0 $$ donde $i_1,i_2,p_1,p_2$ son los mapas de inclusión del subespacio, respectivamente, $S^{n-1}\cap D^n\hookrightarrow S^{n-1},S^{n-1}\cap D^n\hookrightarrow D^n,S^{n-1}\hookrightarrow S^{n-1} \cup_{\alpha} D^n,$ y $D^n\hookrightarrow S^{n-1} \cup_{\alpha} D^n.$ Entonces a partir de los mapas inducidos en la homología se forman $i_1\oplus i_2$ y $p_1-p_2.$

Y tenemos $S^{n-1}\cap D^n\simeq S^{n-1},$ $H_{n-1}(D^n)\cong0,$ $i_2=0=p_2,$ y $i_1=\alpha$ es el grado $a$ mapa. Y por supuesto $H_{n-1}(S^{n-1})\cong\mathbb{Z}.$

Desde $\alpha$ es inyectiva, tenemos $H_n(S^{n-1} \cup_{\alpha} D^n)\cong 0.$

Ahora nuestra secuencia es $$0\to \mathbb{Z}\overset{a}\to\mathbb{Z}\to H_{n-1}(S^{n-1} \cup_{\alpha} D^n)\to 0,$$ de lo que se deduce $H_{n-1}(S^{n-1} \cup_{\alpha} D^n)=\mathbb{Z}/a\mathbb{Z}.$

La parte que creo que es un poco confusa es, ¿cómo puede $i_1$ sea el grado no inyectivo $a$ cuando se supone que es la inclusión del subespacio $S^{n-1}\cap D^n\cong S^{n-1}\hookrightarrow S^{n-1}$ ? ¿Seguro que esta inclusión es sólo el mapa de identidad?

Pues no. Recuerda que Mayer-Vietoris requiere que usemos conjuntos abiertos $A$ , $B$ que cubren el espacio total $X=S^{n-1} \cup_{\alpha} D^n$ . $S^{n-1}$ y $D^n$ no lo hacen, son conjuntos cerrados, $S^{n-1}$ no contiene barrios de $X$ . Así que debemos engordar nuestra esfera, y retraer un poco nuestro disco. Algo así como $A=S^{n-1}\times[0,\frac{2}{3})$ y $B=S^{n-1}\times(\frac{1}{3},1]/S^{n-1}\times \{1\}$ (por lo que un cono en $S^{n-1}$ que no llega "hasta el final", por así decirlo). Y aunque son homotópicamente equivalentes a $S^{n-1}$ y $D^n$ respectivamente, son estos subespacios $A$ y $B$ que deberían haber aparecido en la secuencia de MV anterior, y que determinan los mapas.

Entonces vemos la intersección $A\cap B\hookrightarrow A$ sí se mapea en el límite de la grasa a través del grado $a$ adjuntando el mapa.

Ver también esta respuesta .