Encontrar una matriz de transformación

Question

Por favor, ¿puedes ayudarme con el siguiente problema?

Tengo un rectángulo con centro $(x_1, y_1)$ y lados $a, b$, donde el lado $a$ es paralelo al eje $Ox$. Quiero encontrar una matriz de transformación que:

a) convierta este rectángulo en un cuadrado con el mismo centro y lado $d$.

b) refleje el rectángulo con eje de espejo la línea $y = sx + c$.

gracias de antemano

Answer 1

Debes considerar dos puntos linealmente independientes de este rectángulo (esquina, borde o centro) e investigar a qué puntos del cuadrado van estos puntos. Entonces puedes encontrar tu transformación lineal.

Por ejemplo, para la parte $a$:

Debes considerar $4$ casos:

A) el centro no se encuentra en ningún eje

B) el centro se encuentra en el eje X

C) el centro se encuentra en el eje Y

D) el centro es $(0,0)$

y resolver el problema para cada uno

Pista: tienes dos puntos independientes como base (rectangular) y los valores de T (que son los puntos correspondientes en el cuadrado).

Answer 2

Pista Extendida: Para transformar el rectángulo en un cuadrado, necesitas estirar un par o ambos pares de lados paralelos a una longitud $d$. Para hacer esto, puedes suponer que los lados del rectángulo son paralelos al eje de coordenadas con el origen en el centro del rectángulo, porque simplemente podemos elegir nuestro eje para que cumpla con esto. Luego, quieres encontrar una matriz que estire los lados del rectángulo de manera apropiada, para hacer esto debes considerar cómo quieres que la matriz transforme los vectores direccionales de los lados de tu rectángulo, en este caso $(1,0)$ $(0,1)$ ya que elegimos nuestro eje de manera juiciosa al principio.

Para la reflexión, puedes considerar cómo se mueven dos puntos en el rectángulo bajo esta transformación y luego a partir de esto puedes calcular la matriz que deseas.

Por último, si deseas realizar una transformación y luego la otra, debes multiplicar a la izquierda la matriz de la primera transformación por la segunda. Espero que esto sea de ayuda.