Dejemos que $X$ sea un espacio topológico separable, $Y$ un espacio topológico y $f:X \to Y$ función continua suryectiva. Demostrar que $Y$ es separable.
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clark
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Dejemos que $x_n$ sea un conjunto denso contable de $X$ . Reclamación $f(x_n)$ es un conjunto denso para $Y$ .
En efecto, elija $y\in Y$ , entonces hay $x\in X$ tal que $f(x)=y$ . Ahora podemos encontrar $x_{k_n}$ tal que $x_{k_n}\rightarrow y$ y de la continuidad $f(x_{k_n}) \rightarrow f(x)=y$ . Así pues, concluimos la afirmación y, por tanto, el resultado.
user254665
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Dejemos que $D$ sea un subconjunto denso de $X.$ El cardenal de $f(D)$ no puede superar el cardinal de $D.$
Si $f(D)$ no es denso en $Y,$ entonces $E=Y$ \ $\overline {f(D)}$ es un subconjunto abierto no vacío de $Y.$ Y f es una suryección continua, por lo que $f^{-1}(E)$ es un subconjunto abierto no vacío de $X.$ Pero $D\cap f^{-1}(E)$ está vacía, lo que contradice la densidad de $D$ en $X.$
Por lo tanto, $f(D)$ debe ser denso en $Y.$
