La integral compleja del recíproco de un polinomio es constante en círculos suficientemente grandes

Question

Sea $P$ un polinomio de grado $n 2$. Supongamos que todas las raíces de $P$ se encuentran en el disco $D_{r}(0)$. Sea $R > r$ y $$I(R)=\int_{|Z|=R}{1\over P(z)}dz$$ Demuestra que la integral es constante.

Sé que $\lim_{R\to \infty}I(R)=0$. ¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

Usando el teorema del residuo:

Si $P$ es un polinomio de grado $n\ge 2$, entonces $P(z)$ es analítico, por lo que $\frac{1}{P(z)}$ es analítico en $\mathbb{C}\setminus \{a_1,a_2,\cdots, a_k\}$, donde $a_1,\dots,a_k$ son raíces de $P(z)$. Luego, por el teorema del residuo, $$ I(R)=2\pi i \sum \operatorname{Res}(f;a_k), $$ que es una constante.

Usando la fracción parcial de un polinomio:

Cada polinomio en $\mathbb{C}$ se factoriza como $$ P(z)=(z-a_1)^{r_1}(z-a_2)^{r_2}\cdots(z-a_k)^{r_k}. $$ Entonces $1/P(z)$ puede descomponerse como $$ \frac{1}{P(z)}=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{r_i}\frac{1}{(z-a_i)^j}. $$ Luego aplicar la fórmula integral de Cauchy.