Prueba de que el conjunto $\mathbb{Q}\left[\sqrt2\right]$ es un $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial

Question

Demostrar que el conjunto $\mathbb{Q}\left[\sqrt2\right] = \left\{a + b \sqrt2 : a, b \in \mathbb{Q}\right\}$ es un $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial

Estoy muy confundido con este ejercicio.

Lo sé. $\mathbb{Q}$ es un campo y acabo de terminar de demostrar que $\mathbb{Q}$ es un campo, pero ¿cómo puedo hacer este problema? Es decir, los axiomas de un campo y los axiomas del espacio vectorial son diferentes.

No estoy muy seguro de cuáles son los elementos que hay que tomar $F$ y $V$ para hacer la demostración con los 8 axiomas del espacio vectorial.

Answer 1

HINT

Un enfoque es observar que si $$ \mathbb{Q}^2 = \left\{(a,b)|a,b \in \mathbb{Q} \right\} $$ entonces $f:\mathbb{Q}^2 \to \mathbb{Q}\left[\sqrt2\right]$ dado por $f(a,b) = a+b\sqrt2$ es una biyección.

Answer 2

Creo que es más fácil cuando se ve $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ como si pensaras en $\mathbb{C}$ .

Puede que sepas que $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ es un espacio vectorial.

Los elementos de $\mathbb{C}$ puede escribirse de la forma $a+ib$ .

Los elementos de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ puede escribirse de la forma $a+\sqrt{2}b$ .

Todo lo que tienes que hacer es mostrar todos los axiomas de un espacio vectorial. No se necesitan trucos.

Así que queremos demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es un $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial.

Hay muchos axiomas que comprobar. Por ejemplo, que $+$ está cerrado.

$+:\mathbb{Q}(\sqrt{2})\times\mathbb{Q}(\sqrt{2})\to\mathbb{Q}(\sqrt{2})$

Lo comprobarías así.

Dejemos que $x,y\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ . Entonces $x=a+b\sqrt{2}$ y $y=c+d\sqrt{2}$ , donde $a,b,c,d\in\mathbb{Q}$

Entonces es $x+y=(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=(a+c)+\sqrt{2}(b+d)\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ como $a+c$ y $b+d$ son elementos de $\mathbb{Q$

¿Cómo debe ser el elemento neutro de la suma? ¿Cómo debe ser el elemento inverso de la $x\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ¿se ve así?

Esto, por ejemplo, tienes que averiguarlo. Así que tienes que adivinar primero, y luego verificar que tu suposición es correcta. No es difícil, y los cálculos se pueden hacer como se muestra arriba.

Tienes que usar que sabes que $\mathbb{Q}$ es un campo. Así que sabemos cómo se ven los inversos en $\mathbb{Q}$ conocemos su estructura algebraica (asociativa, conmutativa, etc.). Esto se utilizará execsivamente en los cálculos, ya que verifica que nuestros cálculos son correctos.

Sólo tienes que empezar, con el tiempo te darás cuenta de que es bastante fácil. Si tienes alguna duda, no dudes en preguntar.

Answer 3

$\mathbf Q\bigl[\sqrt2\bigr]$ es isomorfo al cociente del anillo de polinomios $\mathbf Q\bigl[X\bigr]$ que es un $\mathbf Q$ -espacio vectorial, por el ideal $(X^2-2)$ que también es un $\mathbf Q$ -subespacio.