Descomposición de Doob y submartes con incrementos acotados

Question

Dejemos que $(X_n)_{n \geq 0}$ sea un submartingale definido en algún espacio de probabilidad filtrado $(\Omega, \mathcal{F}, ({\mathcal{F}}_n)_{n \geq 0}, \mathbb{P})$ . Es un hecho habitual que $X_n = X_0 + M_n + A_n$ , donde $(M_n)_{n \geq 0}$ es una martingala nula en $0$ y $(A_n)_{n \geq 0}$ es un proceso previsible creciente, también nulo en $0$ .

Supongamos que existe una constante positiva c tal que $|X_{n+1} - X_n| \leq c$ para todos $n \geq 0$ . Entonces tenemos que demostrar lo siguiente: \begin {Ecuación} \bigg\ { \sup_ {n \geq 0 } X_n < + \infty \bigg\ } \subseteq \bigg ( \big\ { (X_n) \text { converge en } \mathbb {R} \big\ } \cap \big\ {A_ \infty < + \infty \big\ } \bigg ). \end {Ecuación}

Answer 1

Definir una secuencia de tiempos de parada $(\tau_k)_k$ por

$$\tau_k := \inf\{n \geq 0; X_n \geq k\}.$$

Desde

$$M_{n \wedge \tau_k} = X_{n \wedge \tau_k}-X_0 - \underbrace{A_{n \wedge \tau_k}}_{\geq 0} \leq 2k$$

se deduce que $(M_{n \wedge \tau_k})_{n \in \mathbb{N}}$ es una martingala que está acotada por encima. En consecuencia, por un teorema de convergencia estándar, el límite

$$\lim_{n \to \infty} M_{n \wedge \tau_k}$$

existe casi con toda seguridad. Para $\omega \in \{\sup_n X_n < \infty\}$ tenemos $\omega \in \{\tau_k = \infty\}$ para $k$ suficientemente grande; por lo tanto, $\lim_{n \to \infty} M_n(\omega)$ existe. En

$$A_n(\omega) = X_n(\omega)-X_0(\omega)-M_n(\omega) \leq 2 \sup_n X_n(\omega) - \inf_n M_n(\omega)<\infty$$

vemos que $(A_n(\omega))_n$ está acotado por encima. Dado que $(A_n(\omega))_n$ es creciente, encontramos que $A_{\infty}(\omega) = \lim_{n \to \infty} A_n(\omega)$ existe. Obviamente, esto implica que

$$\lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) + \lim_{n \to \infty} A_n(\omega)+ \lim_{n \to \infty} M_n(\omega).$$

Answer 2

Recuerda que cuando demuestres el teorema de descomposición de Doob defines:

$$A_n = \sum_{k=1}^n \mathbb{E}[X_k | \mathcal{F}_{k-1}]-X_{k-1}$$ y $$M_n =X_0+ \sum_{k=1}^n X_{k}-\mathbb{E}[X_k | \mathcal{F}_{k-1}]$$

En $X_n$ un submartingale, tienes $A_n \ge 0$ esto implica $M_n \le X_n$ lo que implica $\sup_nM_n < + \infty$ si estamos en el evento $\{\sup_nX_n < \infty \}$ .

Ahora $M_n$ es una martingala acotada entonces converge. Y tenemos $A_n \le 2\sup X_n -\inf M_n < \infty$ ser $A_n$ aumentando el resultado.