Supongamos que tengo un cuadrado mágico de 3x3 y que conozco el número del medio. ¿Cuántas combinaciones puedo crear si intento resolverlo? ¿Hay alguna manera de encontrarlas todas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Darth Geek
Puntos
7892
Si tienes un cuadrado mágico de suma $N$ :
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a & b & c \\ \hline d & e & f \\ \hline g & h & i \\ \hline \end{array}$$
entonces si sumas o restas el mismo número de todas las celdas, también obtienes un cuadrado mágico, particularmente:
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a-e & b-e & c-e \\ \hline d-e & 0 & f-e \\ \hline g-e & h-e & i-e \\ \hline \end{array}$$
es un cuadrado mágico de la suma $N-3e$ .
Así que WLOG podemos suponer que el número central es $0$ . Entonces
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline -a & b & -a+c \\ \hline c & 0 & -c \\ \hline -a+b & -b & a \\ \hline \end{array}$$
es un número cuadrado de la suma $0$ siempre y cuando $2a = b + c$ y $b$ y $c$ son diferentes enteros no nulos de la misma paridad. Si se elige $b > c > 0$ con usted elimina automáticamente la mayoría de las rotaciones y reflexiones.
En particular, tienes este conjunto infinito de soluciones:
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1-b & b & -1 \\ \hline b-2 & 0 & 2-b \\ \hline 1 & -b & b-1 \\ \hline \end{array}$$
Para cualquier $b > 3$ . Si quiere excluir $0$ , sólo hay que añadir $n$ a cada célula, donde $n\not\in \{b,b-1,b-2\}$ . Añadir $n > b-2$ a cada celda para tener sólo valores positivos en las celdas.
