En $2^n \bmod n$ ¿se repite alguna vez?

Question

El título básicamente lo dice todo, pero...

¿Se sabe si la secuencia generada por $2^n \bmod n$ es periódica como $n$ atraviesa los números naturales?

Sólo para dar un poco de sabor, los primeros 50 elementos:

{0, 0, 2, 0, 2, 4, 2, 0, 8, 4,
 2, 4, 2, 4, 8, 0, 2, 10, 2, 16,
 8, 4, 2, 16, 7, 4, 26, 16, 2, 4,
 2, 0, 8, 4, 18, 28, 2, 4, 8, 16,
 2, 22, 2, 16, 17, 4, 2, 16, 30, 24,
   ...}

Answer 1

Si la secuencia es periódica, debe existir $M$ s.t. $\forall n,2^n\,mod\,n<M$ .

Elija $k$ s.t. $2^k>M$ . Elija una gran prima $p>2^k$ .

Dejemos que $n=pk$ entonces $2^n\equiv 2^k$ mod $p$ . Así, $2^n\,mod\,n\ge 2^k$ . (contradicción)

Answer 2

$a_n=0$ si $n$ es una potencia de $2$ . Obviamente, esto no es periódico.

Answer 3

Es fácil demostrar que $2^{3^n} \equiv 3^n-1 mod(3^n)$ . Así que si se considera la secuencia $x_{n}=(2^{3^n} \equiv 3^n-1 mod(3^n))$ es divergente hasta el infinito, y asume infinitos valores distintos. Así que la secuencia no puede ser periódica.