Estoy tratando de demostrar que $R$ es un anillo de Jacobson si para cualquier $Y \subseteq Spec(R)$ cerrado en la topología de Zariski, se tiene que el cierre de $Spec_{max}(R) \cap Y$ es $Y$ sí mismo.
Denota para cualquier subconjunto $S \subseteq R$ , $V(S) := \left\{ P \in Spec(R): S \subseteq P \right\}$ . En esta notación $Y$ es cerrado si $Y = V(S)$ para algunos $S \subseteq R$ por definición.
En primer lugar, para argumentar de izquierda a derecha, tomé $Z = V(T)$ y $Y = V(S)$ cerrado tal que $Spec_{max}(R) \cap Y \subseteq Z \cap Y$ . Para demostrar la implicación, tendría que demostrar que $Y \subseteq Z \cap Y$ . Desde $Spec_{max}(R) \cap Y \subseteq Z \cap Y$ tenemos que
\begin {Ecuación} \label {lab} \bigcap\limits_ {P \in Z \cap Y} P \subseteq \bigcap\limits_ {P \in Spec_{max}(R) \cap Y} P \end {Ecuación}
El lado derecho de la inclusión es simplemente (denotando por $(\cdot)$ el ideal generado por $\cdot$ en $R$ ):
$$\bigcap\limits_{ \substack{\mathfrak{m} \in Spec_{max}(R) \\ (S) \subseteq \mathfrak{m} } } \mathfrak{m} \ ,$$
mientras que el LHS de la inclusión es la intersección de los primos en $V(S \cup T)$ , que es sólo $\sqrt{(S \cup T)}$ . Por hipótesis $R$ es Jacobson, así que:
$$\sqrt{(S \cup T)} = \bigcap\limits_{\substack{\mathfrak{m} \in Spec_{max}(R) \\ (S \cup T) \subseteq \mathfrak{m} }} \mathfrak{m} \ .$$
Así que $$ \bigcap\limits_{\substack{\mathfrak{m} \in Spec_{max}(R) \\ (S \cup T) \subseteq \mathfrak{m} }} \mathfrak{m} \subseteq \bigcap\limits_{ \substack{\mathfrak{m} \in Spec_{max}(R) \\ (S) \subseteq \mathfrak{m} } } \mathfrak{m} $$
La intersección de la derecha está sobre los mismos términos que la de la izquierda y posiblemente más, por lo que contiene a la de la izquierda. Por lo tanto, las dos intersecciones deben ser iguales, así que utilizando de nuevo la hipótesis de $\sqrt{(S)}$ , obtenemos que $\sqrt{(S)} = \sqrt{(T \cup S)}$ . Ahora, una comprobación sencilla muestra que $V(\sqrt{I})=V(I)$ para cualquier ideal $I$ por lo que obtenemos que $Z \cap Y = V((T \cup S)) = V(\sqrt{(T \cup S)}) = V(\sqrt{(S)})= V((S)) = Y$ como se desea. ¿Es esto correcto? ¿Existe una prueba menos "complicada" (utilizando sólo las propiedades muy elementales de la topología de Zariski, que son las únicas con las que estoy familiarizado ahora)?
En cuanto a la segunda implicación, estoy un poco atascado: para $I$ un ideal en $R$ Tengo que demostrar que tiene la propiedad de Jacobson si $Spec_{max}(R) \cap V(I)$ es denso en $V(I)$ . Creo que el problema es que no encuentro la forma de aprovechar la propiedad de densidad. He intentado derivar algo de la propiedad de densidad expresada como:
$$ \bigcap\limits_{\substack{I \subseteq T \\ Spec_{max}(R) \cap V(I) \subseteq V(T)}} V(T) = V(I) = V(\sqrt{I}) \, $$
pero esta expresión no parece ayudar. Entonces, ¿cómo se demuestra esta implicación?
