Me parece (tanto: diferencial y algebraica), geometría fascinante. Estoy empezando mis estudios de posgrado, pero me gustaría saber algunos de los temas/teoremas en la intersección de estos dos (ya que realmente no sé a dónde ir).
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Nir
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1) Un muy buen tema es la teoría de Hodge.
Permite descomponer la De Rham cohomology espacios vectoriales de un suave proyectiva compleja variedad en una suma directa de espacios vectoriales tener un algebro-interpretación geométrica: $$ H^r(X,\mathbb C)=\oplus_{p+q=r} H^q(X,\Omega^p) $$ where $\Omega^p$ is the bundle of algebraic differential $p$-formas.
2) más restringido tema es de Kodaira la incrustación teorema que dice que cuando un pequeño complejo colector de $X$ es proyectiva algebraica en términos de un diferencial de 2-formulario asociado a lo que se denomina Kähler métrica en $X$.
3) por último (por este post!!!) hay poderosos "fuga teoremas" que dicen que cierta línea de paquetes en proyectivas lisas complejo variedades tienen cero positivo dimensiones cohomology tan pronto como usted puede poner una métrica en estos paquetes con ciertas "positividad" de propiedades.
El mejor conocido de estos resultados es la de Kodaira-Nakano teorema: para una línea positiva bundle $L$ sobre el suave complejo proyectiva $n$-dimensiones variedad $X$ tenemos $$H^i(X,\Omega^j\otimes L)=0 \;\text{for} \;i+j\gt n$$
Griffiths-Harris el libro es muy rico de referencia para todos estos temas y muchos más que están en la intersección que usted requiere.
Peter Crooks
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Yo le sugiero que eche un vistazo a Serre papel de GAGA. En este papel, él construye un analytification functor de la categoría de complejo de variedades algebraicas a la categoría de complejo de la analítica de los espacios. Conserva el elemento subyacente de una gran variedad, pero los cambios de la topología de la Zariski-topología de un clásico de la analítica. Si la variedad pasa a ser suave, su analytification es un complejo colector.
Este functor se utiliza de forma implícita cuando diferencial de los geómetras hablar suave variedades. Lo que realmente significa para referirse al complejo asociado colectores. A menudo es fructífera para el estudio de los colectores procedentes de las variedades de esta manera, ya que tienden a ser un poco más manso de arbitraria de los colectores.
Sergiy
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En una dirección completamente diferente, puedes querer mirar Arakelov Geometría. Arakelov la geometría es un área de la geometría que es motly interrested en Diophantine problemas. La idea detrás de esto es que en el fin de captar propiedades aritméticas, no será suficiente sólo el estudio de la geometría algebraica de los objetos sobre $\text{Spec } \mathbb Z$, debido a $\text{Spec } \mathbb Z$ no es la correcta (compacto si usted lo prefiere), así que tenemos que compactify la situación, y para ello, tenemos que añadir una "analítica de la fibra" (que es un buen complejo colector), y dotarlo de hermitian de datos.
Entonces tenemos que encontrar los análogos de los enunciados y teoremas en la geometría algebraica en esta nueva algebro-hermitian ajuste, lo que implica por supuesto la geometría algebraica en la propia variedad, y la compleja geometría diferencial en la "fibra al infinito", y para tratar en una configuración unificada.
Esto se relaciona con la profunda diferencial de los conceptos y la pregunta, como índice de la teoría, por ejemplo, o con preguntas relacionadas con la curvatura en paquetes específicos (e.g el quillen curvatura en el determinante de cohomology) y, por supuesto, analítica de torsión.
Tal vez para darle un sabor de la mezcla de los dos estilos de la geometría, permítanme un ejemplo. En una superficie de riemann, clásicos de la geometría algebraica le dice que es una buena idea para el estudio de los ciclos de más. En el arakelov contexto de estudio llamado "la aritmética de los ciclos", que consta de pares $(Z,g)$ donde Z es un ciclo en la superficie (las piezas geométricas), y g es la llamada función de green para $Z$, lo que se podría pensar como un potencial para el campo eléctrico generado por la uniformemente cargada de distribución de cargos apoyados por $Z$ (poner cargas en cada punto de $Z$ $g$ es entonces un potencial para el campo eléctrico generado).
Usted puede tomar un vistazo a estas notas, o aquellos, por Soulé, pero ellos están en francés
