Estos dos espacios no son homeomórficos... ¿verdad?

Question

Por qué es $\Bbb R\times[0,1]\not \cong \Bbb R^2$ ? no podemos utilizar el argumento popular de borrar un punto y encontrar que uno tiene más componentes de trayectoria que el otro aquí.

Así que mi idea es eliminar una franja $\{0\}\times[0,1]$ de $\Bbb R\times[0,1]$ .

Pero es $\Bbb R^2-f(\{0\}\times[0,1])$ siempre se conectan a la ruta cuando $f:\Bbb R\times[0,1]\to \Bbb R^2$ ¿es un homeo?

Answer 1

Que los espacios tienen un punto diferente (Alexandroff) compactaciones por lo que no pueden ser homeomórficos.

La compactación de un punto de $\mathbb{R}^2$ es la esfera $S^2$ mientras que la compactación de un punto de $\mathbb{R}\times[0,1]$ es un disco cerrado en $\mathbb{R}^2$ con un par de sus puntos límite identificados. En $S^2$ En este caso, dos vecindades abiertas de dos puntos diferentes son siempre isomorfas, y eliminando cualquier punto de una vecindad ésta permanece conectada. En el último espacio, hay un punto $u$ con un comportamiento inusual: al tomar un barrio abierto $U$ de $u$ , $U\setminus\{u\}$ está desconectado.

Answer 2

La propiedad de conectividad simple distinguirá entre $\Bbb{R} \times[0,1]$ y $\Bbb{R}^2$ . Cuando eliminamos un punto de $\Bbb{R} \times[0,1]$ entonces está simplemente conectado pero quitando un punto de $\Bbb{R}^2$ entonces no está simplemente conectado.

Answer 3

Para rifar la idea de Jack D'Aurizio de utilizar las compactificaciones (e intentar evitar las nociones de topología algebraica...):

La compactación Cech-Stone de $\mathbb{R}^2$ tiene un resto conectado, mientras que el de $\mathbb{R} \times [0,1]$ tiene dos componentes en su resto. La prueba es similar a la de la compactación de Cech-Stone de $\mathbb{R}$ .

La compactación Freudenthal debería tener las mismas propiedades también para su resto.

Answer 4

Ya hay respuestas más elementales dadas, pero el teorema de Invariancia de Dominio muestra inmediatamente que no son homeomórficas, ya que su franja no es abierta en $\mathbb{R}^2$ .

Answer 5

He aquí otra variación de la idea de utilizar las compactaciones para evitar la topología algebraica: $\Bbb R\times[0,1]$ tiene una compactación de dos puntos, pero $\Bbb R^2$ no lo hace.

La compactación de dos puntos de $\Bbb R\times[0,1]$ es bastante evidente. Supongamos que $\Bbb R^2$ tiene una compactación $X=\{p,q\}\cup\Bbb R^2$ , donde $p\ne q$ . Sea $U$ y $V$ sean nbhds abiertos disjuntos de $p$ y $q$ ; $K=\Bbb R^2\setminus(U\cup V)$ es un subconjunto compacto del plano. Sea $G=U\cap\Bbb R^2$ y $H=V\cap\Bbb R^2$ ; $G$ y $H$ están abiertas en $\Bbb R^2$ y la partición $\Bbb R^2\setminus K$ .

$K$ es compacto, así que dejemos que $r_0=\max\{\|x\|:x\in K\}$ . Para cada $r>r_0$ dejar $C_r$ sea el círculo de radio $r$ centrado en el origen. $C_r$ está conectada, por lo que para cada $r\ge r_0$ debemos tener $C_r\subseteq G$ o $C_r\subseteq H$ . Sea $I_G=\{r>r_0:C_r\subseteq G\}$ y $I_H=\{r>r_0:C_r\subseteq H\}$ . Cada $C_r$ es compacto, por lo que $I_G$ y $I_H$ son subconjuntos abiertos del conjunto conexo $(r_0,\to)$ sin pérdida de generalidad $I_G=(r_0,\to)$ (y $I_H=\varnothing$ ). De ello se desprende que $H$ es un conjunto abierto acotado en $\Bbb R^2$ y por lo tanto que $W=X\setminus\operatorname{cl}_{\Bbb R^2}H$ es un nbhd abierto de $q$ en $X$ . Pero entonces $V\cap W=\{q\}$ está abierto en $X$ y $q$ está aislado, lo cual es imposible.