Determinar si 3 círculos se cruzan en un punto común

Question

Dados tres círculos centrados en los puntos $A$ , $B$ y $C$ con radios de longitudes no nulas $R_A$ , $R_B$ y $R_C$ . Donde los centros de los círculos forman un triángulo válido, y donde la distancia entre dos centros cualesquiera es menor o igual que la suma de sus radios correspondientes.

Pregunta: ¿Es posible determinar si los tres círculos se cruzan en un punto común mediante un cálculo más sencillo que determinar primero el par de puntos de intersección entre dos pares de círculos y luego determinar si alguno de los puntos de intersección es igual?

Answer 1

No sé si es mucho más sencillo que calcular las intersecciones por pares y luego las distancias al tercer centro, pero lo siguiente da una condición de simetría utilizando números complejos.

Dejemos que $\,a,b,c\,$ sean los números complejos asociados a los puntos $A,B,C$ en un plano complejo centrado en el centroide de $ABC\,$ para que $a+b+c=0\,$ .

El punto de intersección $z$ de los tres círculos (si existe) debe satisfacer la $3$ ecuaciones similares a:

$$|z-a|^2=R_A^2 \;\;\iff\;\;(z-a)(\bar z - \bar a) = R_A^2 \;\;\iff\;\;|z|^2 - z \bar a - \bar z a + |a|^2 = R_A^2 \tag{1}$$

Escribir $(1)$ para $a,b,c$ y sumando los $3$ equiparación:

$$\require{cancel} 3\,|z|^2 - \cancel{z \sum_{cyc} \bar a} - \bcancel{\bar z \sum_{cyc} a} + \sum_{cyc}|a|^2 = \sum_{cyc} R_A^2 \;\;\implies\;\; |z|^2 = \frac{1}{3}\left(\sum_{cyc} R_A^2-\sum_{cyc}|a|^2\right) =R^2 \tag{2}$$

Sustituyendo $(2)$ en cada uno de los $(1)\,$ :

$$-|z|^2 + z \bar a + \bar z a - |a|^2 = - R_A^2 \;\;\iff\;\; z \cdot \bar a + \bar z \cdot a = |a|^2+R^2-R_A^2 \tag{3}$$

Considerando $(3)$ como un sistema de ecuaciones lineales en $z, \bar z\,$ la condición para que tenga soluciones es:

$$\left| \begin{matrix} \;\bar a \;&\; a \;&\; |a|^2+R^2-R_A^2\; \\ \;\bar b \;&\; b \;&\; |b|^2+R^2-R_B^2\; \\ \;\bar c \;&\; c \;&\; |c|^2+R^2-R_C^2\; \end{matrix} \right| \;\;=\;\; 0$$

Answer 2

Se puede calcular el par de intersección entre, por ejemplo, círculos $A$ y $B$ y luego calcular la distancia de cada una de esas intersecciones al círculo $C$ . Existe una triple intersección si y sólo si una de las distancias es $R_C$ .

EDIT: Bueno, considere $\triangle ABC$ y supongamos que existe una triple intersección, es decir, algún punto $P$ con $PA=R_A$ , $PB=R_B$ y $PC=R_C$ . Dejemos que $E_A$ sea el lado de $\triangle ABC$ vértice opuesto $A$ y de forma similar para $B$ y $C$ .

Supongamos sin pérdida de generalidad que $R_A\leq R_B\leq R_C$ . La desigualdad del triángulo implica que debe cumplirse lo siguiente:

\begin {align} R_C-R_B \leq E_A \leq R_C+R_B \\ R_C-R_A \leq E_B \leq R_C+R_A \\ R_B-R_A \leq E_C \leq R_B+R_A \end {align}

Por hipótesis, las desigualdades de la derecha se cumplen, pero si alguna de las de la izquierda no lo hace, ya se puede descartar la posibilidad de una triple intersección.

Puede que lo mejore más adelante.

Answer 3

Si coordinamos, por ejemplo, con $$A = (0,0) \qquad B = (c, 0) \qquad c = (b\cos A,b\sin A)$$ y tomar suponer círculos $\bigcirc A$ , $\bigcirc B$ , $\bigcirc C$ (de radios respectivos $r_A$ , $r_B$ , $r_C$ ) se encuentran en un punto $P = (x,y)$ entonces tenemos tres ecuaciones en dos incógnitas $x$ y $y$ : $$\begin{align} x^2 + y^2 &= r_A^2 \\ x^2 + y^2 &= r_B^2 + 2 c x - c^2 \\ x^2 + y^2 &= r_C^2 + 2 b x \cos A x + 2 b y \sin A - b^2 \end{align}$$ Podemos eliminar $x$ y $y$ de estas ecuaciones, dejando esta relación: $$\begin{align} a^2 b^2 c^2 + a^2 r_A^4 + b^2 r_B^4 + c^2 r_C^4 &= \left( a^2 r_A^2 + r_B^2 r_C^2 \right) \left(-a^2 + b^2 + c^2 \right) \\ &+ \left( b^2 r_B^2 + r_C^2 r_A^2 \right) \left(\phantom{-}a^2 - b^2 + c^2 \right)\\ &+ \left( c^2 r_C^2 + r_A^2 r_B^2 \right) \left(\phantom{-}a^2 + b^2 - c^2 \right) \end{align} \tag{1}$$

El lado derecho parece querer ser reescrito con cosenos ...

$$\begin{align} a^2 b^2 c^2 + a^2 r_A^4 + b^2 r_B^4 + c^2 r_C^4 &= 2 b c \cos A \left( a^2 r_A^2 + r_B^2 r_C^2 \right) \\ &+ 2 c a \cos B \left( b^2 r_B^2 + r_C^2 r_A^2 \right)\\ &+ 2 a b \cos C \left( c^2 r_C^2 + r_A^2 r_B^2 \right) \end{align} \tag{2}$$ ... pero esto no parece mucho mejor. Tal vez si usamos la ley de los senos para escribir $$a = 2 r \sin A \qquad b = 2 r \sin B \qquad c = 2 r \sin C$$ donde $r$ es el circunradio de $\triangle ABC$ . Con un poco de esfuerzo, encontramos esta forma para la relación:

$$\begin{align} \frac{1}{64} \left(\;\begin{array}{c} r_A^2 \sin 2A + r_B^2 \sin 2B + r_C^2 \sin 2C \\ - 8 r^2 \sin A \sin B \sin C\end{array} \;\right)^2 = \frac{1}{16}&(\phantom{-}r_A \sin A + r_B \sin B + r_C \sin C ) \\ \cdot &(-r_A \sin A + r_B \sin B + r_C \sin C )\\ \cdot &(\phantom{-}r_A \sin A - r_B \sin B + r_C \sin C )\\ \cdot &(\phantom{-}r_A \sin A + r_B \sin B - r_C \sin C ) \end{align} \tag{3}$$

Los curiosos coeficientes fraccionarios están ahí para ayudarnos a reconocer el lado derecho como Fórmula de la garza para el cuadrado del área de un triángulo con longitudes laterales $r_A \sin A$ , $r_B \sin B$ , $r_C \sin C$ . Más concretamente, cuando (y sólo cuando) el lado derecho de $(3)$ es no negativo, da el cuadrado del área del triángulo con esas longitudes laterales; cuando (y sólo cuando) el lado derecho es negativo, esas longitudes laterales no forman un triángulo válido. (Nota: considero un triángulo degenerado de área $0$ para que sea válido).

Dado que el lado izquierdo de $(3)$ es necesariamente no negativo, deducimos que

$\bigcirc A$ , $\bigcirc B$ , $\bigcirc C$ con radios $r_A$ , $r_B$ , $r_C$ , coinciden en un punto sólo si $r_A \sin A$ , $r_B \sin B$ , $r_C \sin C$ son las aristas de un triángulo válido (es decir, satisfacen la Desigualdades del triángulo ).

Eso te da una forma de eliminar a los malos candidatos. Para saber con seguridad que los tres círculos coinciden, habría que comprobar la igualdad total de $(3)$ . (¿Es eso "más sencillo" que la estrategia que has mencionado? No estoy seguro).

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Tenga en cuenta que $8 r^2 \sin A\sin B\sin C = 2 a b \sin C = 4 |\triangle ABC|$ . Si llamamos al "triángulo válido" referido anteriormente, digamos, $\triangle T$ entonces podemos escribir $(3)$ como

$$r_A^2 \sin 2A + r_B^2 \sin 2B + r_C^2 \sin 2C \pm 8 |\triangle T|\;=\; 4 |\triangle ABC| \tag{4}$$

Para llegar al comportamiento del " $\pm$ ", considere $P$ a distancia $p$ del circuncentro de $\triangle ABC$ (y en las distancias $r_A$ , $r_B$ , $r_C$ de $A$ , $B$ , $C$ respectivamente). Con la ayuda de Mathematica obtenemos $$\begin{align} r_A^2 \sin 2A + r_B^2 \sin 2B + r_C^2 \sin 2C &= 4 (r^2 + p^2) \sin A \sin B \sin C \\ 8|\triangle T| &= 4 |r^2-p^2|\sin A \sin B \sin C \end{align}$$

Vemos, pues, que " $\pm$ " debe ser " $+$ " cuando $r > p$ (es decir, cuando $P$ está dentro de la circunferencia) y " $-$ " cuando $r < p$ (cuando $P$ está fuera de la circunferencia); para $P$ en el círculo, $|\triangle T| = 0$ .