Continuidad y diferenciabilidad de $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!(x+n)}$

Question

Dada la serie: $$\sum_{n \ge 0} \frac{(-1)^n}{n!(x+n)}$$

Dejemos que $f_n(x)$ denotan su término general.

Dejemos que $f(x)$ denotan su suma (cuando existe).

La pregunta se dirige a:

$i)$ Encontrar el dominio $\mathbb D$ en el que $f$ existe.

$ii)$ Demostrar que $\forall x \in \mathbb D$ , $xf(x) - f(x+1)$ es independiente de $x$ .

$iii)$ Demostrar que $f$ es continua en $\mathbb D$ y que es derivable en $\mathbb D$ .

Las dos primeras partes no son importantes, sólo anotaré los resultados:

• $\mathbb D = \mathbb R \setminus (\mathbb Z_- \cup \{0\})$

• $xf(x) - f(x+1) = e^{-1}$

Para la tercera parte, este es mi intento:

En $(0, \infty)$ tenemos:

$$||f_n||_{\infty} = \frac{1}{nn!}$$

Y la serie que tiene este término general converge claramente, por lo que tenemos convergencia normal y por tanto convergencia uniforme. El $f_n$ son continuos, por lo tanto $f$ es continua en $(0,\infty)$ .

Podemos escribir:

$$\mathbb D = (0,\infty) \cup \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} (-n,-n+1) \right)$$

Utilizamos la relación de la parte $ii)$ para demostrar la continuidad de $f$ en cada $(-n,-n+1)$ por inducción en $n$ :

Para $n=1$ : dejar $a \in (-1,0)$ . Desde $ii)$ es cierto para cualquier $x \in \mathbb D$ Podemos elegir simplemente $x = a$ y el resultado se sigue debido a la continuidad de $f$ en $(0,\infty)$ .

Etc.

¿Puede comprobar mi trabajo? ¿Existe un enfoque más sencillo o mejor?

Además, ¿cómo podría demostrar que es diferenciable?

Gracias.

Answer 1

A través de la ecuación funcional, también se puede comprobar que: $$ \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{n!(x+n)}=\Gamma(x)-\Gamma(x,1)\tag{1}$$ donde: $$ \Gamma(x,1) = \int_{1}^{+\infty} u^{x-1}e^{-u}\,du \tag{2}$$ es el incompleto $\Gamma$ regular (es decir, la función $C^{\infty}$ ) en toda la línea real. Por lo tanto, nuestra función tiene la misma regularidad de la $\Gamma$ y es una función $C^\infty$ función sobre $\mathbb{R}\setminus(-\mathbb{N})$ como se ha reclamado.

Answer 2

Si $x$ es un número real para el que $x \not \in (\mathbb{Z} \cup \{0\})$ entonces existe una vecindad cerrada de $x$ , $D_x$ para lo cual $D_x \cap (\mathbb{Z} \cup \{0\}) = \emptyset$ .

Tenga en cuenta que cada una de las funciones: $f_M(y) = \sum_{n=0}^M \frac{(-1)^n}{n!(y+n)}$ son continuas, y que esta secuencia converge uniformemente a $f$ en $D_x$ . Esto se puede demostrar delimitando $(y+n)^{-1}$ para $y\in D_x$ y utilizando $1/n!$ a su favor. Así, $f$ es continua en $D_x$ .

Además, $f'_M(y) = \sum_{n=0}^M \frac{(-1)^{n+1}}{n!(y+n)^2}$ también converge a una función de manera uniforme, y por lo tanto $f'(y)$ existe y es igual a $$f'(y) = \lim_{M\to\infty} f'_M(y)$$ para todos $y \in D_x$ . Esto utiliza el Teorema $7.17$ en los Principios del Análisis Matemático de Rudin.