Pruebas de Raabe y Schlömilch para los límites

Question

Este es el problema 2.53 del Análisis Real Básico de Sohrab

Problema

En primer lugar, la prueba de Raabe tal y como se formula en el libro.

Corolario 2.3.31 Sea $(x_n)$ sea una secuencia de números positivos. Entonces $\sum x_n$ converge si $x_{n+1}/x_n\leq 1-r/n$ es finalmente cierto para algunos $r>1$ .

Problema 2.53 Demuestre que la prueba de Raabe (corolario 2.3.31) implica la siguiente (que se debe a Schlömilch):

Dejemos que $x_n > 0\;\forall n\in\mathbb{N}$ . Entonces $\sum x_n$ converge si $n\log(x_n/x_{n+1})\geq r$ es finalmente cierto para algunos $r > 1$ . Sugerencia: Utilice las desigualdades $x/(1+x)\leq \log(1+x)\leq x$ para todos $x>-1$ .

Pregunta

La idea es demostrar: Las premisas de Schlömilch $\implies$ Local de Raabe $\implies$ convergencia. PERO Sólo soy capaz de probar: Las premisas de Raabe $\implies$ Instalaciones de Schlömilch $\implies$ convergencia:

$$\frac{r}{n}\leq 1-\frac{x_{n+1}}{x_n}\leq \log\frac{x_n}{x_{n+1}}$$ donde, con $y:=\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1$ hemos utilizado $y/(1+y)\leq \log(1+y)$ .

Me parece que el de Raabe es un resultado más general, por lo que no es posible demostrar que las premisas de Schlömilch $\implies$ El local de Raabe.

Y esta es la pregunta: ¿Es mi pensamiento correcto o de lo contrario dónde está el error en mi razonamiento?

Answer 1

Para deducir las premisas de la prueba de Raabe a partir de las premisas de la prueba de Schlömilch, tenemos que tomar una $r$ en la prueba de Raabe que en la de Schlömilch.

La clave es que

$$\log \frac{1}{1-x} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^k}{k} = x + O(x^2)$$

para $x > 0$ Así que, dado cualquier $\varepsilon > 0$ Hay un $\delta > 0$ tal que

$$x < \log \frac{1}{1-x} < (1+\varepsilon)\cdot x\tag{1}$$

para todos $0 < x < \delta$ .

Así que vamos a elegir un $\varepsilon > 0$ tal que $1 < r' := \frac{r}{1+\varepsilon}$ y el correspondiente $\delta > 0$ . Elija $n_0$ tan grande que

$$\log \frac{x_n}{x_{n+1}} \geqslant \frac{r}{n}\tag{2}$$

para todos $n \geqslant n_0$ y siempre deja que $n \geqslant n_0$ en lo siguiente. Ahora

$$\log \frac{x_n}{x_{n+1}} = \log \frac{1}{x_{n+1}/x_n} = \log \frac{1}{1 - \frac{x_n - x_{n+1}}{x_n}},$$

y cuando $\frac{x_n - x_{n+1}}{x_n} < \delta$ - tenemos $x_n > x_{n+1}$ por $(2)$ - obtenemos

$$\frac{r}{n} \leqslant \log \frac{x_n}{x_{n+1}} < (1+\varepsilon)\frac{x_n-x_{n+1}}{x_n}\tag{3}$$

de $(1)$ . Pero la desigualdad entre los términos exteriores de $(3)$ es sólo

$$\frac{r'}{n} < 1 - \frac{x_{n+1}}{x_n},\tag{4}$$

por lo que para estos $n$ las premisas de la prueba de Raabe se satisfacen con $r' > 1$ . Y si

$$\delta \leqslant \frac{x_n - x_{n+1}}{x_n} = 1 - \frac{x_{n+1}}{x_n},$$

entonces seguramente $(4)$ se mantiene cuando $n$ es tan grande que

$$\frac{r'}{n} \leqslant \delta,$$

es decir, para $n \geqslant \frac{r'}{\delta}$ .

Por lo tanto, desde

$$\frac{r}{n} \leqslant \log \frac{x_n}{x_{n+1}}$$

para todos $n \geqslant n_0$ deducimos que

$$\frac{r'}{n} \leqslant 1 - \frac{x_{n+1}}{x_n}$$

para todos $n \geqslant \max \{ n_0,\, r'/\delta\}$ .

Answer 2

Aquí la prueba de Daniel Fischer reescrita de tal manera que es más fácil de entender para mí:

Para deducir las premisas de la prueba de Raabe a partir de las premisas de la prueba de Schlömilch, tenemos que tomar una $r'$ en la prueba de Raabe que $r$ en Schlömilch's.

Tenga en cuenta que $$ \log \frac{1}{1-x} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^k}{k} = x + O(x^2)\quad\text{for }x>0. $$ Dado cualquier $\varepsilon > 0$ Hay un $\delta > 0$ tal que $$ x < \log \frac{1}{1-x} < (1+\varepsilon) x\quad\forall 0<x<\delta.\tag{1} $$ Ahora, teniendo en cuenta $r$ de las premisas de la prueba de Schlömilch, elegimos un $\varepsilon > 0$ tal que $1 < \frac{r}{1+\varepsilon}=:r'$ y el correspondiente $\delta > 0$ . La prueba de Schlömilch es $$ \log \frac{x_n}{x_{n+1}} \geqslant \frac{r}{n}\quad\forall n\geqslant N,\tag{2} $$ para un tamaño suficiente $N$ y siempre deja que $n \geqslant N$ en lo siguiente. Ahora $$ \log \frac{x_n}{x_{n+1}} = \log \frac{1}{x_{n+1}/x_n} = \log \frac{1}{1 - \frac{x_n - x_{n+1}}{x_n}}, $$ y cuando $\frac{x_n - x_{n+1}}{x_n} < \delta$ . [Nota: (2), $r/n>0$ $\implies x_n/x_{n+1}>1$ $\implies$ $x_n > x_{n+1}$ ]. De (1) y (2) obtenemos $$ \frac{r}{n} \leqslant \log \frac{x_n}{x_{n+1}} < (1+\varepsilon)\frac{x_n-x_{n+1}}{x_n},\tag{3} $$ $$ \implies \frac{x_{n+1}}{x_n}<1-\frac{r'}{n},\tag{4} $$ y las premisas de la prueba de Raabe se satisfacen con $r' > 1$ cuando $\frac{x_n - x_{n+1}}{x_n} < \delta$ que es el caso.

El último paso es asegurar que el $\delta$ -se satisface la restricción. Partimos de las premisas de la prueba de Schlömilch: $$ \frac{r}{n}\leqslant \log\frac{x_n}{x_{n+1}}\leqslant \frac{x_n}{x_{n+1}}-1 \implies 1-\frac{x_{n+1}}{x_n}\geqslant \frac{1}{1+n/r}. $$ Así, $$ \delta>1-\frac{x_{n+1}}{x_n}\geqslant \frac{1}{1+n/r}, $$ lo cual es cierto para todos los $n$ mayor que algunos $N'$ .

Concluyendo, las premisas de Raabe se satisfacen para todos los $n\geqslant\max\{N,N'\}$ .