Determinante de una matriz de transformación

Question

Hace poco aprendí que una transformación lineal se puede representar con la ayuda de una matriz. Sin embargo esta matriz no es única, depende del sistema de bases que se tome. Pero el determinante de todas esas matrices es el mismo. Así que si tomo un número concreto, por ejemplo 21, y escribo todas las posibles matrices cuyo determinante es 21, ¿representarán todas estas matrices la misma transformación con diferentes sistemas de bases? Consideremos todos los endomorfismos.

Answer 1

No. si dos matrices $A$ y $B$ representan la misma transformación lineal, entonces están relacionadas por conjugación, $B=P^{-1}AP$ , donde $P$ es el cambio de base. Estas matrices se llaman similares. Dos matrices pueden tener el mismo determinante pero no ser similares. Son similares si y sólo si tienen la misma forma canónica.

Por ejemplo

$$\left(\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\right)$$

y

$$\left(\begin{matrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{matrix}\right)$$

Ambos tienen el determinante 1, pero no son similares.

Answer 2

El determinante determina un hipervolumen del espacio generado por los vectores columna (fila) de la matriz de transformación. Es fácil imaginar conjuntos de vectores muy diferentes que, sin embargo, generan el mismo hipervolumen.

Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant#/media/File:Determinant_parallelepiped.svg

Si tu hipótesis fuera cierta, todos estos conjuntos de vectores serían una representación de la misma transformación, lo que obviamente no es cierto.

Tal vez también esta pregunta te dé algunas pistas..
Lista de propiedades de la matriz que se conservan tras un cambio de base

Puede tener matrices con diferentes trazos (por lo que seguramente no están representando la misma transformación bajo un Cambio de Base) pero con lo mismo determinante.