Izquierda invariantes U_n de SL_n - un ejercicio en Kraft-Procesi

Question

Lo siento por hacer spam en MO con preguntas en las que no he pensado durante más de 3 horas, pero actualmente estoy bastante ocupado preparando una charla sobre representaciones de $S_n$, y no quiero que se pierdan. Espero que esta no sea tan vaga como la última.

Esto es un intento de generalizar el Ejercicio I.21 en Kraft-Procesi, Teoría Clásica de Invariantes.

Sea $K$ un campo - digamos, infinito, ya que vamos a hacer teoría clásica de invariantes. Sea $K\left[\mathrm{SL}_n K\right]$ el $K$-álgebra de funciones polinómicas en $\mathrm{SL}_n K$, que defino como

$\left\lbrace f\mid_{\mathrm{SL}_n K} \ \mid \ f\in K\left[\mathrm{M}_n K\right]\right\rbrace$

o como $K\left[\mathrm{M}_n K\right]\diagup \left(\det-1\right)$ (demostrar la equivalencia de estas dos definiciones no es el asunto, es bastante fácil - incluso más fácil de lo que Kraft y Procesi intentan hacer creer).

Ahora, el grupo $\mathrm{U}_n K$ de matrices triangulares superiores unipotentes actúa sobre $\mathrm{SL}_n K$ por la izquierda. ¿Cuál es el anillo invariante? Es fácil ver que

$\det\left(\text{la submatriz formada por la intersección de las filas }i,i+1,...,n\text{ con las columnas }j,i+1,i+2,...,n\right)$

es un invariante para cualquier $i\geq j$. Estos generan el campo de fracciones de los invariantes, pero ¿también generan el anillo de los invariantes en sí?

(El ejercicio mencionado anteriormente es el anterior para $n=2$.)

Los argumentos que utilizan métodos de la era victoriana (en contraposición a topológicos de Zariski u otros algebro-geométricos) serían particularmente preferibles.

EDITAR: Como Allen Knutson ha señalado, mi pregunta tiene una respuesta negativa. Sin embargo, la (mayor) colección de determinantes de la forma

$\det\left(\text{la submatriz formada por la intersección de las filas }i,i+1,...,n\text{ con las columnas }j_1, j_2, ..., j_{n-i+1}\right)$

para $1 < i \leq n$ y $1 \leq j_1 < j_2 < ... < j_{n-i+1} \leq n$ genera el anillo de invariantes. Cuando $K$ tiene característica $0$, esto puede ser demostrado utilizando la teoría estándar de módulos de peso más alto y álgebras libres de multiplicidad explicadas en Kraft-Procesi (ver mis erratas, "Página 9, Ejercicio 21" para una demostración). Todavía me pregunto si esto es cierto para $K$ arbitrario y tiene una prueba más elemental o combinatoria.

Answer 1

No, no lo hacen. $U_n(K)$ está realizando operaciones de fila ascendentes, por lo que cualquier menor de $m\times m$ que utilice las últimas $m$ filas será $U_n(K)$-invariante, por ejemplo, cualquier entrada inferior individual. No podrás generar esas funciones lineales utilizando tus funciones de grado superior. (¡La refutación de Victor también es buena!)

Lo que sí es cierto es que el anillo invariante está generado por esos $2^n - 1$ menores (correspondientes a subconjuntos no vacíos de columnas). Un buen lugar para leer sobre ellos es [Miller-Sturmfels], capítulo 14, donde muestran, por ejemplo, que puedes degenerar este anillo invariante reemplazando cada menor por el producto de sus entradas diagonales, obteniendo el álgebra de semigrupo del cono de patrones de Gel'fand-Cetlin.

Answer 2

Su pregunta (en el carácter 0) ya ha sido respondida por Knutson y Victor Protsak. Solo quería decir que esto se cumple en una mayor generalidad (carácter 0) pero el método no es victoriano.

Entonces, considere el campo algebraicamente cerrado $K$ de carácter 0, y $G=SL_n$. Dado un $V_{\lambda}$ irredicible con peso más alto $\lambda$ (en relación al subgrupo triangular superior estándar $B=TU$ donde $T$ es el grupo de diagonales), tenemos la descomposición para la acción de $G\times G$ en el anillo de coordenadas $k[G]$

$$k[G]=\bigoplus V_{\lambda }^* \otimes V_{\lambda}.$$ Tomando los invariantes de $U$ a la izquierda, tenemos

$$k[U\backslash G]=\bigoplus V_{\lambda},$$ es decir, cada representación irreducible $V_{\lambda}$ ocurre exactamente una vez y es generada como un módulo de $G$ por el vector $v_{\lambda}$ que es invariante bajo el grupo $V$ de matrices unipotentes $triangulares \ inferiores$. Si $\lambda_1, \cdots, \lambda_{n-1}$ son los pesos más altos de las representaciones fundamentales, y $\lambda =\sum a_i\lambda _i$ con $a_i\geq 0$ entonces claramente (por multiplicidad uno) $v_{\lambda}=\prod v_i^{a_i}$ es un producto de potencias de $v_{\lambda_1}, \cdots ,v_{\lambda _{n-1}}$. Por lo tanto, el anillo de invariantes está generado por las funciones que abarcan $V_{\lambda_1},\cdots V_{\lambda _{n-1}}$. Así que el anillo de invariantes está finitamente generado.

La prueba anterior funciona para cualquier grupo reductivo conectado.