¿Dos misteriosos ángulos que faltan en la lista de valores del seno del ángulo agudo?

Question

Hay una lista bien conocida de 5 para los valores trigonométricos de los ángulos especiales entre 0 $^o$ a $90^o$ :

$\sin 0^o =\frac{\sqrt {\color{blue}{0}}}{2}$ , $\sin 30^o =\frac{\sqrt {\color{blue}{1}}}{2}$ , $\sin 45^o =\frac{\sqrt {\color{blue}{2}}}{2}$ , $\sin 60^o =\frac{\sqrt {\color{blue}{3}}}{2}$ , $\sin 90^o =\frac{\sqrt {\color{blue}{4}}}{2}$

Si añadimos 15 $^o$ y 75 $^o$ podemos hacer que los ángulos estén espaciados uniformemente por 15 $^o$ y ampliar la lista de 5 a una lista de 7:

$\sin 0^o =\frac{\sqrt {\color{blue}{0}}}{2}$ , $\sin 15^o =\frac{\sqrt {\color{red}{2-\sqrt3}}}{2}$ , $\sin 30^o =\frac{\sqrt {\color{blue}{1}}}{2}$ , $\sin 45^o =\frac{\sqrt {\color{blue}{2}}}{2}$ , $\sin 60^o =\frac{\sqrt {\color{blue}{3}}}{2}$ , $\sin 75^o =\frac{\sqrt {\color{red}{2+\sqrt 3}}}{2}$ , $\sin 90^o =\frac{\sqrt {\color{blue}{4}}}{2}$

Reformular la lista :

$\sin 0^o =\frac{\sqrt {\color{green}{2-\sqrt {4}}}}{2}$ , $\sin 15^o =\frac{\sqrt {\color{green}{2-\sqrt3}}}{2}$ , $\sin 30^o =\frac{\sqrt {\color{green}{2-\sqrt{1}}}}{2}$

, $\sin 45^o =\frac{\sqrt {\color{green}{2-\sqrt{0}}}}{2}$ , $\sin 60^o =\frac{\sqrt {\color{green}{2+\sqrt{1}}}}{2}$ , $\sin 75^o =\frac{\sqrt {\color{green}{2+\sqrt 3}}}{2}$ , $\sin 90^o =\frac{\sqrt {\color{green}{2+\sqrt{4}}}}{2}$

Ahora, vemos un bonito patrón de $\frac{\sqrt {{2\color{red}{\pm}\sqrt i}}}{2}$ con i=0,1,3,4.

Pero espera, ¿por qué falta el 2 en esta lista i? Parece que tenemos dos ángulos especiales perdidos. Con ellos, podemos ampliar la lista a 9. ¿Dónde están estos dos misteriosos ángulos? ¿Puedes encontrarlos y demostrar que encajan en el patrón? O, ¿encuentras la forma de ampliar esta lista aún más hasta una lista de 11,13,... y encontrar algo sorprendente?

Answer 1

Los ángulos que faltan son:

$$\sin 22.5º = \frac{\sqrt{2 - \sqrt2}}{2}$$ $$\sin 67.5º = \frac{\sqrt{2 + \sqrt2}}{2}$$

Hay otros valores en la lista aquí en Wikipedia, pero el patrón no es evidente. Por ejemplo, $\sin 18º = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$ pero $\arcsin \frac{\sqrt5 + 1}{4}$ no es $90º - 72º = 36º$ pero $54º$ . De hecho, $\sin 36º = \frac{\sqrt{10 - \sqrt{20}}}{4}$ y $\sin 72º = \frac{\sqrt{10 + \sqrt{20}}}{4}$ .

Los números agradables para los senos de los múltiplos de $18º$ provienen del hecho de que $\sin (3\pi/10) = \cos (2 \pi/10)$ y resolver $\sin(3x) = \sin(2x)$ utilizando las fórmulas del triple ángulo y del doble ángulo se obtiene una bonita cuadrática disfrazada después de sustituir $u = x^2$ . Las fórmulas que implican $\sin(4x)$ y demás no se reducen a cuadráticas, por lo que si se pueden reducir a radicales, las formas serán más complicadas.