Convergencia de $A_n^{'}A_n$ a $I_k$ en la probabilidad implica $A^{-1}_n$ con una probabilidad limitada.

Question

Dejemos que $(A_n)$ sea una secuencia de aleatoriedad $k\times k$ matrices y supongamos $A_n^{'}A_n \overset{p}{\to} I_k$ . Entonces

$(i)$ $A_n$ es invertible con una probabilidad cercana a $1$

$(ii)$ $A_n=O_p(1)$

$(iii)$ $A^{-1}_n=O_p(1)$

Pude probar $(i)$ utilizando la continuidad del determinante, pero estoy teniendo problemas con $(ii)$ y $(iii)$ . Sé que para una ortogonal $k\times k$ matriz $A$ tenemos $\sqrt{k}=\left\lVert I_k \right\rVert = \left\lVert A^{'}A\right\rVert = \left\lVert A\right\rVert^2 $ (norma de Frobenius) pero no estoy seguro de cómo utilizarla. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Editar $1$ : Creo que también podría necesitar la representación de la serie Neumann $\big(I_k-A_n^{'}A_n\big)^{-1}=\sum_{s=0}^{\infty}(A_n^{'}A_n)^{s}$ siempre que se demuestre la convergencia de la serie.

Edición 2: Aquí hay un intento. Voy a utilizar las siguientes desigualdades para la norma de Frobenius:

$$\sigma_{min}(A_n)\left\lVert A_n\right\rVert \leq \left\lVert A_n^{'}A_n\right\rVert \leq \sigma_{max}(A_n)\left\lVert A_n\right\rVert $$ o

$$\sqrt{\lambda_{min}(A_n^{'}A_n)}\left\lVert A_n\right\rVert \leq \left\lVert A_n^{'}A_n\right\rVert \leq \sqrt{\lambda_{max}(A_n^{'}A_n)}\left\lVert A_n\right\rVert $$ donde $\sigma,\lambda$ denota los valores singulares y los valores propios, respectivamente. Ahora, como los valores propios son funciones continuas en el espacio de todas las matrices cuadradas y la función raíz cuadrada es continua, puedo invocar el teorema de la cartografía continua y deducir

$$\sqrt{\lambda_{min}(A_n^{'}A_n)}\overset{p}{\to}\sqrt{\lambda_{min}(I_k)}=1$$ $$\sqrt{\lambda_{max}(A_n^{'}A_n)}\overset{p}{\to}\sqrt{\lambda_{max}(I_k)}=1$$ Del mismo modo, la norma de Frobenius es una función continua en el espacio de todas las matrices por lo que tenemos

$$\left\lVert A_n^{'}A_n\right\rVert \overset{p}{\to} \left\lVert I_k\right\rVert=\sqrt{k}$$

Reordenando la desigualdad anterior obtenemos

$$\frac{\left\lVert A_n^{'}A_n\right\rVert }{\sqrt{\lambda_{min}(A_n^{'}A_n)}} \leq \left\lVert A_n\right\rVert \leq \frac{\left\lVert A_n^{'}A_n\right\rVert }{\sqrt{\lambda_{max}(A_n^{'}A_n)}} $$

con la división justificada por el hecho de que $\sqrt{\lambda_{min}(A_n^{'}A_n)}>0$ y $\sqrt{\lambda_{max}(A_n^{'}A_n)}>0$ con una probabilidad cercana a uno. Por los argumentos anteriores, tanto el lado izquierdo como el derecho convergen en probabilidad a $\sqrt{k}$ lo que implica que $\left\lVert A_n\right\rVert\overset{p}{\to}\sqrt{k}$ . Como la convergencia en probabilidad implica la acotación en probabilidad, hemos demostrado $(ii)$ .

Por último, para $(iii)$ Puedo usar $(i)$ y el hecho de que la inversa es una función continua en el espacio de las matrices invertibles para deducir $(A_n^{-1})(A_n^{-1})^{'}\overset{p}{\to}I_k$ . Entonces puedo aplicar el mismo argumento que en $(ii)$ para concluir que $A_n^{-1}$ tiene una probabilidad limitada.

¿Esta prueba es correcta?

Answer 1

¿Cuál es su definición de convergencia en probabilidad para las matrices? Una posible definición es que $\|A_k' A_k - I_k\|_{op}\to 0$ en probabilidad, es decir, $\forall \varepsilon>0, P(\|A_k' A_k - I_k\|_{op}>\varepsilon)\to 0$ . Aquí $\|\cdot\|_{op}$ es la norma del operador.

Ahora $\|A_k' A_k - I_k\|_{op}= \max_{i=1,...,k} |s_i^2-1|$ donde $s_1\ge s_2\ge...\ge s_k$ son los valores singulares de $A_k$ . En particular, tiene $\|A_k\|_{op} = s_1$ y $A_k$ es invertible con $\|A_k^{-1}\| = s_k^{-1}$ siempre que $s_k>0$ . Intuitivamente, esto funcionará ya que todos los valores singulares convergen a 1 en probabilidad.

Aplicar rigurosamente la definición de convergencia en probabilidad a $\varepsilon = 1/2$ . Entonces $\max_{i=1,...,k} |s_i^2-1| \le 1/2$ con una probabilidad cercana a uno, lo que implica que $P(\sqrt{1/2} \le s_k \le s_1 \le \sqrt{3/2})\to 1$ . Esto da $\|A_k\|_{op} = s_1 = O_P(1)$ así como $\|A_k^{-1}\|_{op} = O_P(1)$ escribiendo la definición de $O_P(1)$ .