Sobre el ejemplo de dos función de convolución es discontinua en el "grande" conjunto de puntos

Question

Quiero preguntar sobre el ejemplo de las funciones con valores reales definida en la línea real de tal forma que su convolución existen en cada punto y es discontinua en un "grande", por ejemplo, en cada punto de un intervalo o en un subconjunto denso de $\mathbb{R}$ o tal vez en toda la $\mathbb{R}$.

Mi pregunta está relacionada con el papel Mikusinski, Ryll-Nardzewski, Sur le produit de la composición, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/sm/sm12/sm1213.pdf

Los autores consideran que la convolución de funciones integrables que son cero para $x\leq 0$. En la página 52 el documento mencionado se da ejemplo de dos funciones integrables de tal manera que su convolución es discontinua en un punto. Autores dicen también, pero no hay ninguna prueba de esta afirmación, que es posible por la condensación de singularidades para la construcción de integrar funciones tales que su producto es discontinua en todas partes (en $\mathbb{R_+}$).

Gracias.

Answer 1

Tomar $$f\left(x\right)=\begin{cases} x^{-1/2}, & x\in\left(0,1\right]\\ 0, & \text{otherwise} \end{casos} $$ Esta función es, obviamente, en $L^1$; tenga en cuenta también que $f\ast f$ $0$ en $(-\infty,0] \cup [2,+\infty)$, $\pi$ en $(0,1]$, y se deshace de $\pi$ $0$continuamente en $[1,2]$. Por lo tanto, $f \ast f(x)$ está en todas partes definidas, en el sentido de que $\intop |f(y) f(x-y)| dy < \infty$ todos los $x$; está delimitada en $x$, y su única discontinuidad es igual a cero.

Ahora tome $f_a(x) := f(x-a)$, vamos a $\{a_n\}$ ser arbitraria densa contables conjunto, y obverve que:

1. $F := \sum_n 2^{-n} f_{a_n} \in L^1$
2. $f \ast F = \sum_n f \ast 2^{-n} f_{a_n}$ pointwise, por la monotonía de convergencia.
3. Por otra parte, la serie converge absolutamente en $L^\infty$ norma, por lo tanto, el límite continua fuera de $\{a_n\}$, y discontinua en $\{a_n\}$.

Así, hemos construido una convolución que en todas partes es definido y discontinua en una densa contables conjunto.

Ahora una observación general. De convolución, siempre que la misma se define, es un límite de funciones continuas (por aproximación de uno de sus $L^1$ funciones delimitadas), por lo que debe ser de la clase de Baire. En particular, si es localmente acotada, entonces debe ser en casi todas partes continuo en el sentido de la categoría, por lo que no se puede hacer mucho mejor que en mi ejemplo.

Ahora suponga que tiene una convolución de $f,g \ge 0$. $f \ast g$ todavía es de Baire de clase, pero ahora con valores en la prolongación de la línea real $[0,\infty]$. Así que si $f \ast g$ es localmente acotada en cada punto de un intervalo, entonces ya que se debe Baire en casi todas partes continuo (de nuevo, en el sentido de la topología de $[0,\infty]$), habrá un punto en ese intervalo donde el $f \ast g$ es realmente infinito, que probablemente cuenta con "la inexistencia de la convolución en ese momento".

El caso general se reduce al caso de funciones positivas: si su convolución existe en todas partes, entonces sería también existen en todas partes, si reemplazamos $f,g$$|f|,|g|$.