Demuestre el siguiente límite

Question

$$\lim_{z \rightarrow i} z^2+1=0$$

Mi intento: Deja que $\epsilon>0$ y supongamos que $|z-i|<\delta$ para algunos $\delta$ . Por lo tanto,

$$|z^2 +1|=|(z-i)(z+i)|<\delta|z+i|.$$ Ahora, supongamos que $\delta <1$ Así que $$|z+i|=|z-i+2i|\leq |z-i|+|2i|<\delta+2<3.$$ Entonces $|z^2 +1|<3\delta.$ Por último, teniendo en cuenta $\epsilon>0$ elegimos $\delta<\min(1,\epsilon /3)$ y tenemos $|z^2 +1|<\epsilon$ .

¿Esto es correcto?

Answer 1

Esto es complicado para una pregunta simple. La función $f:z\mapsto z^2+1$ está bien definida y continúa en $\mathbb C$ especialmente en torno a $i$ .

Así que $$\lim_{z\to i} f(z)=f(i)=i^2+1=-1+1=0.$$