En la teoría de conjuntos ZFC el "esquema de especificación del axioma" establece que dado un conjunto infinito $z$ para cualquier fórmula $\phi$ el subconjunto $\{x\in z:\phi(x)\}$ siempre existe. Partiendo de un conjunto infinito contable $z$ es posible construir sólo un número infinito contable de subconjuntos de esta manera, siendo todos ellos contables. Mi pregunta es: ¿Cómo podemos asegurar la existencia de un conjunto que sea incontable?
Respuesta
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DanV
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El axioma del conjunto de potencias garantiza que existe un conjunto que no puede ponerse en biyección con un conjunto de enteros. Sin el axioma del conjunto de potencia es consistente que todo conjunto es contable.
Lo que hay que entender es que podemos demostrar que hay un conjunto que no se puede poner en biyección con ningún subconjunto de los números naturales de ese modelo . Aunque vivamos en un modelo definible puntualmente, en el que cada conjunto puede ser definido (dicho modelo es contable, por supuesto, pero el propio modelo es "inconsciente de ello").
Esta es la paradoja de Skolem disfrazada, que la lógica de primer orden no puede manejar adecuadamente todo el asunto del "infinito". Pero no es realmente una paradoja, es algo con lo que aprendemos a vivir y a utilizar en nuestro beneficio.
