¿Cuántas soluciones tiene $x^2 = 1$ tienen en $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ ¿en general?

Question

Como sugiere el título, ¿cuántas soluciones tiene $x^2 = 1$ tienen en $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ ¿en general?

Answer 1

Basta con explotar el teorema del resto chino. Si $m$ factores como $$ m = 2^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k} \tag{1}$$ tenemos $$ \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\simeq \left(\mathbb{Z}/2^{\alpha_1}\mathbb{Z}\right)\times \left(\mathbb{Z}/p_2^{\alpha_2}\mathbb{Z}\right)\times\ldots\times\left(\mathbb{Z}/p_k^{\alpha_k}\mathbb{Z}\right)\tag{2}$$ y basta con recordar cuántas soluciones $x^2=1$ tiene en $\mathbb{Z}/p_k^{\alpha_k}\mathbb{Z}$ .
Pista: en un grupo cíclico de orden par, siempre tenemos exactamente dos elementos cuyo cuadrado es $1$ .
Hay que tener un poco de cuidado con el $\left(\mathbb{Z}/2^{\alpha_1}\mathbb{Z}\right)$ término, ya que $\left(\mathbb{Z}/2^{\alpha_1}\mathbb{Z}\right)^*$ no es, en general, un grupo cíclico, sino un grupo diedro (generado por $5$ y $-1$ ).