Grupos de homotopía de grupos de Lie

Question

Varias veces he escuchado la afirmación de que cualquier grupo de Mentiras$G$ tiene un segundo grupo fundamental trivial$\pi_2(G)$, pero nunca he encontrado una prueba de este hecho. ¿Existe un buen argumento, tal vez como una versión más inteligente de la prueba de que$\pi_1(G)$ debe ser abeliano?

Answer 1

Para los grupos de Lie clásicos, creo que una forma fácil de obtener el resultado es a través de las fibraciones:

$SO(n-1)\to SO(n)\to S^{n-1}$,

$SU(n-1)\to SU(n)\to S^{2n-1}$,

$SP(n-1)\to SP(n)\to S^{4n-1}$

y la secuencia exacta larga de homotopía y$\pi_m(S^n) = 0$ para$m$ menor que$n$, y$\pi_2(SO(2)) = \pi_2(SU(2))=0$ y el isomorfismo de$SP(2)$ y$SO(5)$.