Demostrando que gcd(a,b) = gcd(c,d) en este caso

Question

Tenemos un $2\times2$ matriz con $\mathbb{Z}$ entradas, $$M =\begin{bmatrix}i&j\\k&l\end{bmatrix}$$ con $\det(M) = 1$ . Si $(c\; d) = (a\; b)M$ entonces cómo demostramos que $\gcd(a,b) = \gcd(c,d)$ ?

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Multiplicando obtenemos $ai + bk =c$ y $aj + bl = d$ asumiendo $a,b,c,d$ enteros no nulos entonces por Bezout $\gcd(a,b) |c$ y $\gcd(a,b) |d$ así que $\gcd(a,b) |\gcd(c,d)$

desde $\det(M) = 1$ entonces $il - kj = 1$ . por Bezout $\gcd(i,k) = \gcd(j,l) = 1$

Eso es todo lo que tengo realmente, cualquier ayuda sería apreciada gracias.

Answer 1

El punto clave aquí es que si el determinante es $1$ entonces $$\begin{bmatrix}i&j\\k&l\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}l&-j\\-k&i\end{bmatrix}.$$ Ya ha demostrado que $\gcd(a,b)\mid\gcd(c,d)$ este hecho le permite ejecutar el mismo argumento al revés.

Answer 2

$(c,d)=(a,b)M$ implica $c,d \in \mathbb Z a + \mathbb Z b = \mathbb Z \gcd(a,b)$ .

Por lo tanto, $\gcd(c,d) \in \mathbb Z \gcd(a,b)$ y así $ \mathbb Z \gcd(c,c) \subseteq \mathbb Z \gcd(a,b)$ .

Repite el argumento con $M^{-1}$ (que tiene entradas enteras) para concluir la inclusión inversa.