El problema de la tarta de cumpleaños: una variación del problema del cumpleaños

Question

Supongamos que seleccionamos al azar a 100 personas y registramos cada uno de sus cumpleaños. (Supongamos un año de 365 días y la misma probabilidad de nacer en cualquiera de ellos). Supongamos además que, a lo largo de un año, compramos una tarta de cumpleaños cada día en que cualquier de esas 100 personas (una o más) cumple años.

Es posible, aunque poco probable, que no haya dos personas entre las 100 que compartan cumpleaños, en cuyo caso acabaríamos comprando 100 tartas. También es concebible, aunque extremadamente improbable, que las 100 personas compartan el mismo cumpleaños, en cuyo caso compraríamos una sola tarta.

La pregunta es: en el escenario dado, ¿cuál es la lo más probable es que número de pasteles que acabaremos comprando a lo largo de un año?

En términos más generales, ¿cómo podríamos hacer un cálculo similar para $n$ el número de días en los que al menos $a$ personas, de un grupo de $b$ miembros, cumple años, en un año de $c$ días? ¿Cómo podríamos describir la distribución de probabilidad de $n$ en el rango de $[0,$ min $(b, c)]$ ?

Answer 1

Voy a considerar el problema general con $a=1$ . Considere un conjunto dado $S$ de $s$ días, $s \ge 0$ . La probabilidad de que nadie cumpla años en el conjunto $S$ es $(1-s/c)^b$ . Por el principio de inclusión-exclusión, la probabilidad de que $S$ es exactamente el conjunto de días en los que nadie cumple años es $$ \sum_{T: S \subseteq T} (-1)^{|T|-|S|} \left(1 - \frac{|T|}{c}\right)^b = \sum_{i=0}^{c-s} (-1)^i {c-s \choose i} \left(1-\frac{s+i}{c}\right)^b $$ de modo que para $1 \le m \le \min(b,c)$ $$ \mathbb P(n = m) = {c \choose m} \sum_{i=0}^m (-1)^i {m \choose i} \left(\frac{m-i}{c}\right)^b$$

En el caso $c=365$ , $b=100$ el máximo se produce en $m = 88$ : $\mathbb P(n=88) \approx .1348788529$ . Como es lógico, está muy cerca de la media, que es mucho más fácil de calcular: $365 - 365(364/365)^{100} \approx 87.57551806$ .