Partiendo de la fórmula de Taylor para funciones de una variable real,
$$g(x) = \sum_{k=0}^n \frac{g^{(k)}(0)}{k!}x^k + \frac{1}{n!}\int_0^x (x-t)^n \cdot g^{(n+1)}(t)\,dt,$$
podemos obtener el resultado considerando $g_\varphi(r) = f(re^{i\varphi},re^{-i\varphi})$ y expresando las derivadas de $g_\varphi$ en términos de las derivadas de Wirtinger de $f$ .
Inductivamente, tenemos
$$\begin{align} g_\varphi^{(k+1)}(t) &= \frac{\partial}{\partial t} g_\varphi^{(k)}(t)\\ &= \frac{\partial}{\partial t} \sum_{m=0}^k \binom{k}{m} \partial_z^m\partial_{\overline{z}}^{k-m}f(te^{i\varphi},te^{-i\varphi})e^{im\varphi}e^{-i(k-m)\varphi}\\ &= \sum_{m=0}^k \binom{k}{m} \partial_z^{m+1}\partial_{\overline{z}}^{k-m}f(te^{i\varphi},te^{-i\varphi})e^{i(m+1)\varphi}e^{-i(k-m)\varphi}\\ &\quad + \sum_{m=0}^k \binom{k}{m} \partial_z^m \partial_{\overline{z}}^{k+1-m}f(te^{i\varphi},te^{-i\varphi})e^{im\varphi}e^{-i(k+1-m)\varphi}\\ &= \sum_{m=0}^{k+1} \binom{k}{m-1} \partial_z^m\partial_{\overline{z}}^{k+1-m}f(te^{i\varphi},te^{-i\varphi})e^{im\varphi}e^{-i(k+1-m)\varphi}\\ &\quad + \sum_{m=0}^{k+1} \binom{k}{m} \partial_z^m\partial_{\overline{z}}^{k+1-m}f(te^{i\varphi},te^{-i\varphi})e^{im\varphi}e^{-i(k+1-m)\varphi}\\ &= \sum_{m=0}^{k+1}\binom{k+1}{m} \partial_z^m\partial_{\overline{z}}^{k+1-m}f(te^{i\varphi},te^{-i\varphi})e^{im\varphi}e^{-i(k+1-m)\varphi}\\ \end{align}$$
por la regla de la cadena al igual que para las derivadas parciales reales $\partial_x,\,\partial_y$ y así para $z = \lvert z\rvert e^{i\varphi}$ obtenemos
$$\begin{align} f(z,\overline{z}) &= g_\varphi(\lvert z\rvert)\\ &= \sum_{k=0}^n \frac{g_\varphi^{(k)}(0)}{k!}\lvert z\rvert^k + \underbrace{\frac{1}{n!}\int_0^{\lvert z\rvert} (\lvert z\rvert-t)^n g_\varphi^{(n+1)}(t)\,dt}_{R_n(z,\overline{z})}\\ &= \sum_{j+m\leqslant n} \frac{\partial_z^j\partial_{\overline{z}}^m f(0,0)}{j!m!} e^{ij\varphi}e^{-im\varphi}\lvert z\rvert^{j+m} + R_n(z,\overline{z})\\ &= \sum_{j+m\leqslant n} \frac{\partial_z^j\partial_{\overline{z}}^m f(0,0)}{j!m!}z^j\overline{z}^m + R_n(z,\overline{z}), \end{align}$$
con
$$\begin{align} \lvert R_n(z,\overline{z})\rvert &= \frac{1}{n!} \left\lvert \int_0^{\lvert z\rvert} (\lvert z\rvert-t)^n g_\varphi^{(n+1)}(t)\,dt\right\rvert\\ &\leqslant \frac{1}{n!}\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}\int_0^{\lvert z\rvert} (\lvert z\rvert-t)^n \left\lvert \partial_z^j\partial_{\overline{z}}^{n+1-j}f(te^{i\varphi},te^{-i\varphi})\right\rvert\,dt\\ &\leqslant \left(\sum_{j=0}^{n+1} \frac{\lVert \partial_z^j\partial_{\overline{z}}^{n+1-j} f\rVert_{R}}{j!(n+1-j)!}\right)\lvert z\rvert^{n+1} \end{align}$$
donde $R$ es arbitraria entre $\lvert z\rvert$ y $1$ y $\lVert h\rVert_R = \sup \{ \lvert h(z,\overline{z})\rvert : \lvert z\rvert \leqslant R\}$ .
Nota: no podemos tener un límite $C\cdot \lvert z\rvert^{n+1}$ para el término restante de manera uniforme en todos los $D_1(0)$ ya que $f$ podría no estar acotado en el disco, pero un polinomio siempre está acotado en subconjuntos acotados de $\mathbb{C}$ . Sólo podemos esperar tener para cada compacto $K\subset D_1(0)$ una constante $C_K$ tal que $\lvert R_n(z,\overline{z})\rvert \leqslant C_K\cdot \lvert z\rvert^{n+1}$ es válida para todos los $z\in K$ . La expresión con el $\lVert\cdot\rVert_R$ da exactamente eso.
Te habrás dado cuenta de que la demostración es exactamente igual que la demostración estándar de la fórmula de Taylor para una función de varias (en este caso dos) variables reales. La cuestión es la fórmula para las derivadas superiores de $g_\varphi$ que coincide exactamente con la fórmula de las derivadas expresadas en términos de las derivadas parciales reales. Que se comporten igual que las derivadas parciales reales en muchos aspectos (regla de la cadena, regla del producto, ...) hace que las derivadas de Wirtinger sean útiles.
