sustitución en $y' = \cos(y-x)$ ecuación

Question

Tengo una simple ED con variables separables para probar la habilidad de las sustituciones:

$$\begin{align*} y' &= \cos(y-x) \\ \frac{dy}{dx} &= \cos(y-x) \\ t &= y -x \\ \frac{dy}{dx} &= \cos t \end{align*}$$

Pero, ¿qué debo hacer ahora? Quiero decir que no sé si hay un algoritmo para manejar las sustituciones en las EDs o no

Answer 1

$y-x=u$ derivar $y'-1=u'\to y'=u'+1$

La ecuación se convierte en

$u'+1=\cos u$

$\dfrac{du}{dx}=\cos u-1$

$\dfrac{du}{\cos u-1}=dx$

$\int dx=x+C$

$\cos u=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ sustituyendo $t=\tan\frac{u}{2}$

$u=2\arctan t$ y $du=\dfrac{2dt}{1+t^2}$

$$\int \frac{1}{\cos u-1} \, du=\int \frac{2}{\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}-1\right) \left(t^2+1\right)} \, dt=\int -\frac{1}{t^2} \, dt=\dfrac{1}{t}=\cot\frac{u}{2}$$

$x+C=\cot\dfrac{u}{2}$

$x+C=\cot\dfrac{y-x}{2}$

$y=x+2\,\text{arccot}(x+C)$

Espero que esto ayude

Answer 2

¿Qué tal si

$\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{dy}{dx} - 1? \tag 1$

Entonces la ecuación

$\dfrac{dy}{dx} = \cos t \tag 2$

se convierte en

$\dfrac{dt}{dx} + 1 = \cos t; \tag 3$

podríamos llegar más lejos escribiendo

$\dfrac{dt}{dx} = \cos t - 1, \tag 4$

de donde

$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{1}{\cos t - 1}, \tag 5$

si multiplicamos el numerador y el denominador de la izquierda por $\cos t + 1$ encontramos

$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{\cos t + 1}{\cos^2 t - 1} = -\dfrac{\cos t + 1}{\sin^2 t} = -(\sin^{-2} t)\cos t - \csc^2 t; \tag 6$

En este punto observamos que el lado derecho de (6) se puede integrar en forma cerrada, a saber

$\dfrac{d(\csc t)}{dt} = \dfrac{d(\sin^{-1} t)}{dt} = -(\sin^{-2} t) \cos t, \tag 7$

$\dfrac{d (\cot t)}{dt} = -\csc^2 t; \tag 8$

entonces

$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{d(\csc t)}{dt} + \dfrac{d (\cot t)}{dt}; \tag 9$

así,

$x(t) = \csc t + \cot t + C, \tag{10}$

para alguna constante de integración arbitraria $C$ que se determina a partir de las condiciones iniciales (aún no establecidas).

Por supuesto, tenemos que tener cuidado de alejarnos de las singularidades, es decir, de los lugares donde los denominadores desaparecen, pero aparte de eso, tenemos una solución exacta para $x$ en términos de $t$ . Desde

$y = x + t, \tag{11}$

tenemos

$y(t) = x(t) + t = \csc t + \cot t + t + C, \tag{12}$

así que tenemos una solución, aunque en forma paramétrica. ¿Podemos convertirla en el for $y(x)$ ? Dejo esto a mis lectores