Continuidad absoluta para el conjunto de derivadas 0 Radon Nikodym

Question

Dejemos que $\nu$ y $\mu$ ser positivo $\sigma$ -medidas finitas en $(S,\Sigma)$ con $\nu \ll \mu$ y que $h = \frac{d\nu}{d\mu}$ .

Quiero demostrar que \begin {align} \mu\big (\{h=0\} \big )=0 \iff \mu \ll \nu. \end {align} Por lo tanto, en el " $\impliedby$ ", asumo que $\mu\big(\{h=0\}\big)>0$ pero me encuentro con algunas dificultades para encontrar una secuencia agotadora $(A_k)_{k \in \mathbb{N}} \subset S$ para ambos $\mu$ y $\nu$ .

Además de esto, en el " $\implies$ "¿Cómo abordar este problema?

Answer 1

Supongamos que $\mu(h = 0) = 0$ . Dejemos que $A$ sea tal que $\nu(A) = 0$ . Entonces $\int_A h\ d\mu = 0$ . Entonces $\int_{A\cap\{h > 0\}} h\ d\mu = 0$ . Entonces $\mu(A\cap\{h>0\}) = 0$ . Entonces $\mu(A) = 0$ . Entonces $\mu \ll \nu$ .

A la inversa, supongamos que $\mu \ll \nu$ . Entonces, como $\nu(\{h = 0\}) = \int_{\{h = 0\}} h\ d\mu = 0$ , $\mu(\{h = 0\}) = 0$ .